Mawellschen Gleichungen Herleitung

Question

Aufgabe:

Man zeige dass die Funktionen \( E, H: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
\( \begin{array}{l} E(x, t)=e \cos (k \cdot x-\omega t) \\ H(x, t)=h \cos (k \cdot x-\omega t) \end{array} \)
unter passenden (welchen?) Bedingungen an \( e, h, k \in \mathbb{R}^{3} \) und \( \omega \in \mathbb{R} \) die Maxwellschen Gleichungen in Vakuum
\( \begin{aligned} \varepsilon_{0} \frac{\partial E}{\partial t} & =\operatorname{rot} H \\ \mu_{0} \frac{\partial H}{\partial t} & =-\operatorname{rot} E \end{aligned} \)
erfüllen. Dabei sind \( \mu_{0}=1.2566 \cdot 10^{-6} \frac{V s}{A m} \) und \( \varepsilon_{0}=8.854 \cdot 10^{-12} \frac{A s}{V m} \) physikalische Konstanten. Man zeige dass für
\( x(t)=\frac{k}{\|k\|} \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0} \mu_{0}}} t \)
die Größen \( E(x(t), t) \) und \( H(x(t), t) \) konstant sind. Interpretation?

Problem/Ansatz:
wie kann ich die Rotation von H und E ausrechnen. Sind die nicht null, weil man ja immer nach einer anderen Komponente ableitet?

Answer 1

Aloha :)

In der Aufgabenstellung ist ein kleiner Fehler, denn \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\,\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}\) hat als Konstante einen rein mathematischen Ursprung. Aber das sind nur Details.

Zur Berechnung der Rotation nutze das Nabla-Kalkül (Produktregel für \(\vec\nabla)\):

$$\operatorname{rot}\vec E=\vec\nabla\times(\vec e\cdot\cos(\vec k\cdot\vec x-\omega t))$$$$\phantom{\operatorname{rot}\vec E}=(\vec\nabla\times\vec e)\cdot\cos(\vec k\cdot\vec x-\omega t)+\left(\vec\nabla\cos(\vec k\cdot\vec x-\omega t)\right)\times\vec e$$

Wegen \(\vec e=\text{const}\) müssen wir nur den Gradient der Cosinus-Funktion bestimmen:$$\vec\nabla\cos(\vec k\cdot\vec x-\omega t)=-\vec k\sin(\vec k\cdot\vec x-\omega t)$$Damit haben wir:$$\operatorname{rot}\vec E=-(\vec k\times\vec e)\sin(\vec k\cdot\vec x-\omega t)$$

Für \(\operatorname{rot}\vec H\) geht die Rechnung analog...