$$ \text{ Sei R faktoriell und sei } \mathbb P \text{ ein Repräsentantensystem der Primelemente modulo Assoziiertheit. }$$
$$\text{ Zeigen Sie für } a_1,...,a_n \in R\text{ die Äquivalenz der folgenden Aussagen: }$$
$$ \text {a) } a_1,...,a_n \text { sind paarweise teilerfremd. }$$
$$\text {b) }a_i \text{ und } \prod_{j \neq i, j=1,...,n}^{} a_j \text{ sind teilerfremd für alle i=1,..,n.}$$
$$\text {c) } \text { Für alle} p \in \mathbb P \text{ gilt: Es gibt höchstens ein i } \in {1,...,n} \text { mit } v_p(a_i) \gt 0$$
$$\text{Anmerkung: VL: Definiere für p }\in \mathbb P: v_p: R-\{0\} \rightarrow \mathbb N_0, x \rightarrow {v_p \vert e \in \mathbb N_0 : p^e \vert x}$$
$$\text{ d) }kgV(a_1,...,1_n) = \prod_{i=1}^{n} a_i$$
Ich würde das gerne mit einer Implikationskette beweisen, also a -> b -> c-> d-> a
a->b und d -> a habe ich schon, aber b->c und c-> d bereiten mir Probleme. Könnte mir dabei vielleicht jemand helfen? :) Vielen Dank im Voraus!
