Beweis für Teilerfremdheit und Induktion

Question

Aufgabe: a) Beweisen Sie:

Falls 1/2 = m + p/q für m∈ℤ und p,q ∈ℤ, q≠0 und p,q teilerfremd, so muss q gerade sein.

b) Beweisen Sie: Für kein n≥2 ist Σⁿ_k=1 1/k eine ganze Zahl.

Problem/Ansatz:

Dies ist mein erster Beweis an der Uni und ich sitze jetzt seit zwei Stunden dran und weiß einfach nicht genau wie ich es machen soll. Ich habe die Formel mehrfach umgestellt und auch Zahlen eingesetzt wie m= 0, p= 1, q=2. Allerdings weiß ich nicht, wie ich universell beweisen soll. Kann mir bitte jemand Tips geben?

Comments

Teil b) scheint nicht ganz einfach zu sein.

Hier ist ein Link zu einer Seite, auf der es mehrere Lösungsvorschläge gibt.

Vielleicht will euer Prof gerade testen, ob ein Mathetalent unter euch ist. Denn b) als eine der ersten Beweisaufgaben zu geben, ist ziemlich hart.

Aber vielleicht gibt es ja doch einen einfachen Beweis. Bin gespannt, ob den hier einer liefert.

Answer 1

Umstellen von

    1/2 = m + p/q

liefert

    q = 2(mq+p)

also ist q durch 2 teilbar.