Aufgabe:
Die Wurzel aus einer Primzahl ist irrational. Zeigen Sie für eine Primzahl \( p \in \mathbb{N}, \) dass es keine rationale Zahl \( x \in \mathbb{Q} \) mit \[x^{2}=p\] gibt.
Die Musterlösung lautet:
Widerspruchsannahme. Es sei \( x \in \mathbb{Q} \) eine rationale Zahl mit \( x^{2}=p \) Wir können o. B. d. A. (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) \( x>0 \) annehmen. Dann gibt es teilerfremde natürliche Zahlen \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( x=\frac{m}{n} \) und demnach gilt
\[n^{2} p=m^{2}\] \( (\star) \)
Also teilt \( p \) die ganze Zahl \( m^{2} \) und laut Hinweis damit auch \( m \). Daher gibt es ein \( k \in \mathbb{N} \) mit \( m=k p . \) Einsetzen in \( (\star) \) und anschliefende Division durch \( p \) liefert
\[n^{2}=k^{2} p\]
Die Primzahl \( p \) ist somit auch ein Teiler von \( n \). Folglich sind \( m \) und \( n \) -im Widerspruch zur Annahme - nicht teilerfremd.
Der Hinweis der hier gemeint ist, ist das Lemma von Euklid.
Problem: Ich bin noch am Anfang meiner Mathekarriere und verstehe nicht ganz warum hier der Widerspruch der Teilerfremdheit genügt um die Irrationalität zu beweisen.
Mein Ansatz: Habe mir einige Gedanken gemacht und konnte einige Gründe ausschließen, hatte aber keinen Gedanken der die Idee des Beweises unterstützt.
Hoffe auf eure Hilfe und falls euch irgendwelche Tipps für das Lösen und Verstehen von Beweisen ins Bewusstsein springen die ihr mir auf den Weg geben könnt wäre ich euch sehr dankbar.
Liebe Grüße
