Aloha :)
Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) transformiert komplexe Eingangsgrößen in komplexe Ausgangsgrößen. Wenn man reelle Eingangswerte hat, liefert die Fourier-Transformation trotzdem komplexe Ausgangsgrößen. Man bläht seinen Speicherbedarf also auf die dopplete Menge auf. Daher haben sich Ingenieure für reelle Eingangsgößen die diskrete Cosinus-Transformation (DCT) ausgedacht.
$$\underbrace{f_k=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_n\exp\left(-i\,\frac{2\pi kn}{N}\right)}_{\text{DFT}}\quad;\quad\underbrace{c_k=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_n\cos\left(\frac{\pi\left(n+\frac12\right)k}{N}\right)}_{\text{DCT-II}}\quad;\quad x_n\in\mathbb R$$
Wenn man bei der DFT den Imaginärteil einfach weglassen würde, hätten wir als Transformations-Vorschrift$$f_k=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x_n\cos\left(\frac{2\pi k n}{N}\right)$$wobei das Minuszeichen im Argument der Cosinus-Funktion verschwindet, weil \(\cos(-x)=\cos(x)\) gilt.
Um diese Imaginärteil-Weglass-Transformation etwas besser zu verstehen, schreiben wir sie einfach Mal für den Fall \(N=3\) in Matrix-Schreibweise hin:$$\begin{pmatrix}f_0\\f_1\\f_2\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{c|ccc} & n=0 & n=1 & n=2\\\hline k=0 & \cos(0) & \cos(0) & \cos(0)\\[1ex]k=1 & \cos(0) & \cos\left(\frac{2\pi}{3}\cdot1\cdot1\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{3}\cdot1\cdot2\right)\\[1ex]k=2 & \cos(0) & \cos\left(\frac{2\pi}{3}\cdot2\cdot1\right) & \cos\left(\frac{2\pi}{3}\cdot2\cdot2\right)\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}f_0\\f_1\\f_2\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\[1ex]1 & -\frac12 & -\frac12\\[1ex] 1 & -\frac12 & -\frac12\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\end{pmatrix}$$Wir erkennen, dass die Matrix zwei gleiche Spalten hat, was bedeutet, dass sie nicht invertierbar ist. Das heißt, die Imaginärteil-Weglass-Transformation funktioniert nicht, weil das ursprüngliche Signal nicht rekonstruierbar ist.
Die DCT entsteht also nicht aus der DFT duch Weglassen des Imaginärteils.
Man kann aber den Imaginärteil der DFT trotzdem weglassen und zugleich das Argument der verbliebenen Cosinus-Funktion etwas abändern, sodass die Transformation invertierbar wird. Es gibt viele genormte Varianten, wie man das Argument abändern kann. Zur Unterscheidung dieser Varianten dient die römische Ziffer hinter dem Kürzel "DCT". Durch das Abändern des Argumentes wird die Frequenz der Schwingungen und / oder deren Phasenverschiebung gegenüber den Fourier-Schwingungen verändert. [Wichtig ist, dass die entstehenden Cosinus-Schwingungen orthogonal zueinader sind.]
Die DCT übernimmt also die grundlegende Idee der DFT, nämlich das Signal in einzelne Schwingungen zu zerlegen, aber die Schwingungen müssen bei der DCT andere sein als bei der DFT, damit sich das ursprüngliche Signal auch wieder rekonstruieren lässt.
