Analysis - Extremwertaufgabe und Herleitung einer Formel

Question

Aufgabe:

(3) Die Punkte \( P(-a \mid 0), Q_{z}\left(z \mid g_{a}(z)\right) \) und \( R_{z}(z \mid 0) \) bilden für \( -a<z<a \) das Dreieck \( P Q_{z} R_{z} \).
(i) Begründen Sie, dass sich der Flächeninhalt \( B_{a} \) des Dreiecks \( P Q_{z} R_{z} \) in Abhängigkeit von \( z \) mit der Gleichung \( B_{a}(z)=-0,5 \cdot(z+a)^{2} \cdot(z-a) \cdot e^{z} \) berechnen lässt.
(ii) Bestimmen Sie für \( a=1 \) den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks \( P Q_{z} R_{z} \)

Problem/Ansatz:

Ich kam bei (i) nur bis zum einsetzen in die Flächeninhaltsformel eines Dreiecks, aber ich frage mich woher das minus in \( B_{a} \) kommt.

Und für (ii) habe ich die Ableitung von \( B_{a} \) gebildet und gleich 0 für das Maximum gerechnet und frage mich welche der 3 Werte ich nehmen soll. Danke für die Hilfe schonmal im Voraus.

Comments

Woher kommt e^z?

Wie lautet die Aufgabe vollständig?

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g_a ist (x+a)·(x-a)·e^x

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Woher kommt e^z?

1) Das braucht man für die Beantwortung nicht zu wissen.

2) Es kommt mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit aus dem von Fragesteller nicht genannten (und erst nachträglich ergänztem) Funktionsterm von \(g_a(z)\).

Answer 1

Wegen  \( -a<z<a \) ist die Differenz (z-a) negativ.

Damit ist auch (z-a)(z+a)² und auch \(0,5 \cdot(z+a)^{2} \cdot(z-a) \cdot e^{z} \)  negativ.

Es gibt aber keine Flächen mit negativer Größe. Deshalb muss das Ergebnis mit (-1) multipliziert werden.

Alternativ hätte man statt \( B_{a}(z)=-0,5 \cdot(z+a)^{2} \cdot(z-a) \cdot e^{z} \)  auch

\( B_{a}(z)=0,5 \cdot(z+a)^{2} \cdot(a-z) \cdot e^{z} \) schreiben können.

Und für (ii) habe ich die Ableitung von \( B_{a} \) gebildet und gleich 0 für das Maximum gerechnet und frage mich welche der 3 Werte ich nehmen soll.

Da an den Stellen z=a und z=-a der Funktionswert (und damit auch der Flächeninhalt des zur Strecke entarteten Dreiecks) gleich 0 ist, hast du schon aus logischer Überlegung dort kein Flächenmaximum.

Und irgendwann wird man euch beibringen, dass man mit Hilfe der zweiten Ableitungen meist entscheiden kann, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.

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Danke für die Antwort