Wie komme ich auf diesen Maximum Likelihood Schätzer?

Question

Aufgabe:

Was ist der Maximum-Likelihood-Schätzer für den unbekannten Parameter?

Problem/Ansatz:

Also ich habe den Ansatz aber ich komme beim letzen Schritt nicht weiter, wie berechnet man das? Bzw. wie lautet der Rechenweg um diesen Parameter herauszufinden? Aufgabe 4 a) i)

Danke im Voraus

Text erkannt:

Aufgabe 4 (23 Punkte)
(a) Seien \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte
\( f_{\theta}(x):=\mathrm{e}^{-\pi(x-2 \theta)^{2}}, \quad x \in \mathbb{R}, \)
wobei \( \theta \in \mathbb{R} \) ein unbekannter Parameter sei.
(i) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für den unbekannten Parameter \( \theta \).
(4 Punkte)

Text erkannt:

1)
\( \begin{array}{l} f_{\theta}(x):=e^{-\pi(x-2 \theta)^{2}}, x \in \mathbb{R} \\ L(\theta)=\prod \limits_{i=1}^{n} e^{-\pi(x-2 \theta)^{2}}, \quad \mid \log \\ =e^{-\pi \cdot n \cdot \prod \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-2 \theta\right)^{2}} \\ =-\pi \cdot n \cdot \prod \limits_{i=1}^{n}\left(x_{i}-2 \theta\right)^{2} \\ =-\pi \cdot n \cdot \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-4 \theta x_{i}+4 \theta^{2} \end{array} \)

Answer 1

Es war unklug, die binomische Formel auszumultiplizieren. Denke daran, dass du die Likelihood-Funktion maximieren möchtest. Man kann sofort sehen, dass das Maximum bei 0 liegt (warum?) und das \(\theta\) daher der Wert sein muss, der den Erwartungswert am besten schätzt (Stichprobenmittel). Eine Anwendung der Log-Funktion ist hier übrigens gar nicht notwendig, da man durch Anwendung der Potenzgesetze bereits eine Summe in den Exponenten bekommt und - da dieser negativ ist - das Minimum des Exponents gesucht ist. Das ist aber gleichbedeutet mit deinem Ausdruck.

Comments

Ok, habe das jetzt aber so gemacht und habe irgendwie was anderes heraus.

(Siehe Bild) 

Text erkannt:

\( \text { 1. } \begin{aligned} \left(|\lambda|=\prod \limits_{i=1}^{n} f_{x_{i}}|\theta|\right. & =\frac{\prod \limits_{i=1}^{n} e^{-\lambda \lambda x_{i}}}{x_{i} \mid} \\ & =\prod \limits_{i=1}^{n} e^{-\pi\left(x_{i}-2 \theta\right)^{2}}, x \in \mathbb{R} \end{aligned} \)
2.
\( \begin{aligned} \ln |L| \theta \mid) & =\sum \limits_{i=1}^{n} \ln \left(e^{-\pi\left(x_{i}-2 \theta\right)^{2}}\right) \\ & =\sum \limits_{i=1}^{n}\left(-\pi\left(x_{i}-2 \theta\right)^{2}\right) \end{aligned} \)
\( \begin{aligned} \frac{d}{d \theta} \ln (L(\theta)) & =\sum \limits_{i=1}^{n}-4 \pi\left(x_{i}-2 \theta\right) \\ 0 & \vdots \sum \limits_{i=1}^{n}-4 \pi\left(x_{i}-2 \theta\right) \\ 0 & =\sum \limits_{i=1}^{n}-4 \pi \cdot\left(x_{i}-2 \theta\right) \\ 0 & =\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}-2 \theta \\ 2 \theta & =\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \\ \theta & =\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{x_{i}}{2} \\ \theta & =\frac{n \bar{x}}{2 \cdot n} \\ \theta & =\frac{\bar{x}}{2} \end{aligned} \)

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Joa, das passt aber so.