$$\text{Seien } X_1,...,X_n \text{ unabhängige und Poisson-verteilte Zufallsvariablen mit Parameter } \lambda \geq 0.$$
$$ \text{ Die Zähldichte der Poisson-verteilung mit Parameter } \lambda \text{ ist gegeben durch}$$
$$ p(k)= \frac {\lambda ^k} {k!} exp(-\lambda) \text{ für } k \in \mathbb N_0.$$
$$ \text{Außerdem gilt } \mathbb E(Poi_{\lambda})=\lambda \text{ und } \mathbb V ar(Poi_{\lambda})=\lambda$$
$$\text{ a) Zeigen Sie, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer }\hat{\lambda}_n \text{ von } \lambda \text{ basierend auf } X_1,...,X_n\text{ durch }$$
$$ \hat{\lambda}_n=\frac {1} {n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_i \text{ gegeben ist. }$$
$$\text{Bemerkung: Es genügt zu zeigen, dass es sich um ein lokales Maximum handelt}$$
$$\text{ b) Zeigen Sie, dass } \hat{\lambda}_n \text{ ein erwartungstreuer und stark konsistenter Schätzer für }\lambda \text{ ist.}$$
$$\text{ c) Es gelte }\lambda \gt0. \text{ Weisen Sie nach, dass zudem }\sqrt{n}(\hat{\lambda}_n-\lambda) \xrightarrow[\text{}]{\text{D}} N_{(0,\lambda)} \text{ für } n \rightarrow \infty \text{ gilt.}$$
$$\text{ d) Sei } \alpha \in (0,1). \text{ Geben Sie, basierend auf dem Resultat aus c), ein asymptotisches }$$
$$ (1-\alpha) \text{-Konfidenzintervall für }\lambda \text{ für die richtigen Parameter } R_\lambda =\{\lambda\} \text{ an.}$$
ich bereite mich gerade auf die Klausur vor und wäre sehr dankbar über jede Hilfe, da es leider keine Musterlösung gibt...
