Auf den Maximum Likelihood Schätzer bei ii) komme ich auch nicht, wie macht man weiter?

Question

Aufgabe:

Um ihre Verkehrsleitsysteme zu verbessern, möchte die Stadt Darmstadt das Verkehrsaufkommen vor dem Darmstadium erfassen. Man misst dabei die Zeiten, die zwischen dem Erscheinen aufeinander folgender Fahrzeuge vergehen. Dabei geht man davon aus, dass diese Zeiten Realisierungen unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) sind, welche die Dichte

\( f_{\theta}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{3}{\theta} x^{2} e^{-\frac{1}{\theta} x^{3}} & \text { falls } x \geq 0 \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \)

mit unbekanntem \( \theta>0 \) besitzen.

(i) Geben Sie für Messwerte \( x_{1}, \ldots, x_{n} \) mit \( x_{i}>0 \) für alle \( i \in\{1, \ldots, n\} \) die zugehörige Log-Likelihood-Funktion an.

(ii) Geben Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für \( \theta \) an.

(iii) Bei der Messung ergaben sich die Werte

\( \begin{array}{lllll}1 & 5 & 3.14 & 23 & 2.71\end{array} \)

Geben Sie den auf diesen Messungen basierenden Wert des Maximum-Likelihood-Schätzers für \( \theta \) an.

Problem/Ansatz:

Bei der c) i) weiß ich nicht, wie man weiter rechnen soll. Auf den Maximum Likelihood Schätzer bei ii) komme ich auch nicht, wie macht man weiter ?

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}f_{\theta}(x)=\frac{3}{\theta} x^{2} e^{-\frac{1}{\theta} x^{3}} \\ L(\theta)=\prod \limits_{i=1}^{n} f_{0}(x)=\prod \limits_{i=1}^{n} \frac{3}{\theta} x^{2} e^{-\frac{1}{e} x^{3}} \\ \log (L(\theta))=\sum \limits_{i=1}^{n} \log \left(\frac{3}{\theta} x^{2} e^{-\frac{1}{\theta} x^{3}}\right) \\ =\sum \limits_{i=1}^{n}\left[\log \left(\frac{3}{\theta}\right)+\log \left(x^{2}\right)+\log \left(e^{-\frac{1}{\theta} x^{3}}\right)\right] \\ \log \left(\frac{3}{\theta}\right)=\log (3)-\log (\theta) \\ =\sum \limits_{i=1}^{n}\left[\log (3)-\log (\theta)+2 \cdot \log (x)-\frac{1}{\theta} x^{3}\right] \\\end{array} \)

Answer 1

Das Problem beginnt schon damit, dass du die Definition der Likelihood-Funktion falsch hast. Es ist \(L(\theta)=\prod_{i=1}^n f_{\theta}(x_i)\) (bei dir kommt gar kein \(x_i\) vor, sondern nur \(x\)).

In diesem Fall kann man außerdem den natürlichen Logarithmus \(\ln\) verwenden anstelle des Zehnerlogarithmus \(\log\). Dann vereinfacht sich der e-Term nämlich enorm, da \(\ln(\mathrm{e}^x)=x\).

Damit solltest du weiterkommen, oder? Wenn du Schwierigkeiten bei der Rechnung hast, melde dich gerne nochmal.

Die restlichen Aufgaben ergeben sich ja dann, wenn man erst einmal die korrekte Loglikelihood-Funktion hat.

Comments

Habe das jetzt so gemacht und das müsste eigentlich die Log Likelihood Funktion sein, aber ist das so korrekt ?

Text erkannt:

\( 50 \operatorname{se} 2016 \)
Nr. 3
C) i)
\( \begin{aligned} L(\theta) & =\prod \limits_{i=1}^{n} f_{\theta}(x) \\ & =\prod \limits_{i=1}^{n} \frac{3}{\theta} x^{2} e^{-\frac{1}{\theta} x_{i}^{3}} \\ & =\sum \limits_{i=1}^{n} \ln \left(\frac{3}{\theta} x_{i}^{2} e^{-\frac{1}{\theta} x_{i}^{3}}\right) \\ & =\sum \limits_{i=1}^{n} \ln \left(\frac{3}{\theta} x_{i}^{2}\right)+\ln \left(e^{-\frac{1}{\theta} x_{i}^{3}}\right) \\ & =\sum \limits_{i=1}^{n} 2 \cdot \ln \left(\frac{3}{\theta} x_{i}\right)-\frac{1}{\theta} x_{i}^{3} \end{aligned} \)

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Anmerkungen.

Ich denke, dass i ist nur aus Schlamperei vergessen worden. Aber auch ein Fehler aus Schlamperei ist ein Fehler.

Der ln() ist wie in anderen Ländern üblich als log() geschrieben worden. Vermutlich auch vom Professor so verwenden. In Deutschland sollte man lieber den ln() nehmen und für den 10er Logarithmus lg()

log(e^z) = z wurde allerdings in der Lösung oben richtig vereinfacht.

Es fehlt das weitere Vereinfachen. Also das Aufteilen der Summe auf die einzelnen Summanden.

Also bis auf das fehlende i sieht das bis dorthin schon gut aus.

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Habe das jetzt so gemacht und das müsste eigentlich die Log Likelihood Funktion sein, aber ist das so korrekt ?

Das sah vorher schon bis auf das fehlende i gut aus. Also schmier einfach an das x noch einfach ein i hinzu. Und dann teile die Summe auf die einzelnen Summanden auf. Das ist quasi dann nur noch das Überschreiten der 100 m Linie beim Sprint.

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Stimmt, da habe ich tatsächlich etwas zu oberflächlich geschaut. Aber in der Mathematik sollte man sich grundsätzlich jede Form von Schlamperei abgewöhnen.

Deine vorherige Lösung war da also tatsächlich (bis auf das fehlende i) besser. Die Logarithmen auseinanderziehen und entsprechend die einzelnen Summanden berechnen.

Answer 2

i)

Für unabhängige Messwerte x1, ..., xn ist die gemeinsame Dichtefunktion das Produkt der einzelnen Dichtefunktionen.

L(Θ) = ∏ (i = 1 bis n) (3/Θ·xi^2·e^(-1/Θ·xi^3))

Die Log-Likelihood-Funktion ist der natürliche Logarithmus der gemeinsamen Dichtefunktion.

l(Θ) = ln(∏ (i = 1 bis n) (3/Θ·xi^2·e^(-1/Θ·xi^3)))

Umwandlung des Produktes in eine Summe
l(Θ) = ∑ (i = 1 bis n) (ln(3/Θ·xi^2·e^(-1/Θ·xi^3)))
l(Θ) = ∑ (i = 1 bis n) (ln(3) - ln(Θ) + ln(xi^2) + (-1/Θ·xi^3))
l(Θ) = ∑ (i = 1 bis n) (ln(3) - ln(Θ) + 2·ln(xi) - 1/Θ·xi^3)
l(Θ) = n·ln(3) - n·ln(Θ) + 2·∑ (i = 1 bis n) (ln(xi)) - 1/Θ·∑ (i = 1 bis n) (xi^3)

ii)

Die Ableitung der Log-Likelihood-Funktion nach Θ gleich 0 setzen und nach Θ auflösen:

l'(Θ) = - n·1/Θ + 1/Θ^2·∑ (i = 1 bis n) (xi^3) = 0 → Θ = 1/n·∑ (i = 1 bis n) (xi^3)

iii)

Der Wert des Maximum-Likelihood-Schätzers für Θ ist

Θ = 1/5·(1^3 + 5^3 + 3.14^3 + 23^3 + 2.71^3) = 2468.8

Comments

Sehr ausführlich und hilfreich, Dankeschön