Hier ist eine Möglichkeit, wie man vorgehen kann:
Dabei braucht man aber nicht unbedingt die \(\varphi\)-Funktion, sondern nur den kleinen Fermatschen Satz, der ein Spezialfall des Satzes von Euler ist, bei dem dann die \(\varphi\)-Funktion die entscheidende Rolle spielt.
Zunächst berechnest du den Ausdruck bzgl. der Primfaktoren des Moduls \(66\):
\(66=2\cdot 3\cdot 11\)
\(\mod 2\):
\(77^{22} \cdot 200^{7080} +7080^{84} \equiv_2 77^{22} \cdot 0^{7080} +0^{84} \equiv_2 0\)
\(\mod 3\):
\(77^{22} \cdot 200^{7080} +7080^{84} \equiv_3 (-1)^{22} \cdot (-1)^{7080} +0^{84} \equiv_3 1 \)
\(\mod 11\) - Hier benutzen wir den kleinen Fermat
\(77^{22} \cdot 200^{7080} +7080^{84}\)
\( \equiv_{11} 0^{22} \cdot 200^{7080} +(-4)^{8\cdot 10 + 4} \equiv_{11} 5^2 \equiv_{11} 3\)
Jetzt musst du nur noch die kleinste natürliche Zahl \(x\) bestimmen mit
\(x\equiv_2 0\)
\(x\equiv_3 1\)
\(x\equiv_{11} 3\)
Das kannst du durch Probieren der ersten 5 Vielfachen von 11 machen (es muss ja eine Zahl kleiner als 66 rauskommen), oder per Chinesischen Restklassensatz: (\([a^{-1}]_m\) ist hier das multiplikative Inverse von \(a\) bzgl. des Moduls \(m\))
\(x= 3\cdot [6^{-1}]_{11}\cdot 6 + 1\cdot [22^{-1}]_3\cdot 22 + 0\)
\(= 18\cdot 2 + 22\cdot 1 = 58\)
