Vektoren: Maturatraining - Typ-2-Beispiel

Question

Aufgabe:

Parallelogramm

Zwei Vektoren a und b spannen im Allgemeinen ein Parallelogramm ABCD auf. Für das eingezeichnete rechtwinkelige Dreieck gilt der pyhtagoräische Lehrsatz: b² = h² + x² 

Einen Ausdruck der Form c * Vektor a + d * Vektor b (c, d Element der reellen Zahlen) bezeichnet man als Linearkombination der Vektoren a und b.

Aufgabenstellung:

a) Schreibe die Vektoren für die Diagonalen des Parallelogramms als Linearkombination der Vektoren a und b. Finde dazu konkrete Werte für die reellen Zahlen c und d. Benutze diese Schreibweise, um folgende Aussage zu beweisen:

"Wenn die Diagonalen eines Parallelogramms normal aufeinander stehen, ist das Parallelogramm eine Raute."

b) Welche Bedingung müssen die Vektoren a und b erfüllen, damit sie ein Parallelogramm aufspannen?

Formuliere diese Bedingung als elementare Eigenschaft der Vektoren a und b.

Formuliere diese Bedingung als Eigenschaft des skalaren Produkts der Vektoren a und b.

c) Zeige mit Hilfe der vektoriellen Winkelformel, dass gilt: x = Vektor a * Vektor b dividiert durch a, mit a = Betrag Vektor a

Verwende diesen Zusammenhang, um die vektorielle Flächenformel zu beweisen.

Problem/Ansatz:

Bei a)

Vektor AC = 1 * Vektor a + 1 * Vektor b

Vektor BD = -1 * Vektor a + 1 * Vektor b

0 = Vektor AC * Vektor BD = (1 * (a_x, a_y ) + 1 (b_x, b_y )) * (-1 * (a_x, a_y ) + 1 (b_x, b_y )) = (ax + bx, ay + by) * - ax + bx, - ay + by)

= - a² x + b² x - a² y + b² y

->  a² x +  a² y = b² x + b² y -> Betrag Vektor a² = Betrag Vektor b²  

Frage:

Darf ich hier einfach die Wurzel ziehen, sodass ich Betrag Vektor a = Betrag Vektor b erhalte und somit beweisen kann, dass die Seitenlängen die gleiche Lände haben und es sich somit um eine Raute handelt?

Bei b)

Was versteht man genau unter einer "elementaren Eigenschaft"? Ich weiß, dass Vektor a und b nicht parallel sein dürfen, damit sie ein Parallelogramm aufspannen, aber es gäbe auch noch weitere Eigenschaften, die ich hier als charakteristisch anführen könnte. Wieso wird hier als einzige Lösung nur der Umstand angeführt, dass Vektor a nicht parallel zu Vektor b ist.

Auch verstehe ich nicht, was unter "Bedingung als Eigenschaft des skalaren Produkts der Vektoren a und b zu verstehen ist.

Als Lösung wird hier angeführt:

Vektor a * Vektor b ≠ +- Betrag Vektor a * Betrag Vektor b (diese Lösung ergibt für mich keinen Sinn, hoffe jmd. kann mir dies Schritt für Schritt erklären).

Bei c)

Hier weiß ich nicht, wie ich überhaupt ansetzen soll.

Vielen Dank im Voraus. Hoffentlich kann mir das Beispiel jmd. auf einfache Weise erklären.

Answer 1

Hallo

ich schreibe statt Vektor a einfach a, für den Betrag dann |a|

a) Raute du musst nicht die Wurzel Ziehen. wenn das Quadrat von 2 Vektoren gleich ist, dann auch ihr Betrag. Aber die Wurzel kannst du natürlich auch ziehen.

b) das Skalarprodukt ist nur = Produkt der Beträge, wenn die Vektoren p

arallel sind  wegen a*b=|a|*|b|*cos(a,b) also muss der Winkel zw a und b 0 oder 180°sein  denn cos(0)=1 cos(180)=-1

c) was soll das x hier sein.? und was nennt ihr die vektorielle Winkelformel ? eine ist a*b=|a|*|b|*cos(a,b)

eine ander ax= |a|cos(α), ay=|a|sin(α) mit α Winkel von a zur x- Achse

Gruß lul

Comments

Bitte um Entschuldigung für die verspätete Antwort. Ein Familiendrama kam dazwischen.

a) Danke, verstehe ich jetzt.

b) Danke, super erklärt.

c) cos(a,b) = a*b/|a|*|b| => vektorielle Winkelformel, wie Sie es eh angeführt haben.

Hier weiß ich leider immer noch nicht, wie ich damit die vektorielle Flächenformel beweisen soll:

A = √ |a|²  *  |b|²   - (Vektor a * Vektor b)²  

^{Vielen Dank für die bisherige Hilfe.}

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ich kenne nur die Formel A=a*b =|a|*|b|*cos(a,b) und wenn du ein Parallelogramm aufzeichnest  aus a und b und die Formel  A=a*h verwendest was ist h?

lul

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Die Herleitung für die vektorielle Flächenformel ist lt. Buch, wie folgt:

Text erkannt:

Zuerst überlegen wir: \( A=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \sin \varphi \)
Für \( \varphi \) gilt:
Daher:
Daraus folgt:
\( \cos \varphi=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|} \) \( \sin \varphi=\sqrt{1-\cos ^{2} \varphi}=\sqrt{1-\frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}}{|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}}} \)
\( \Rightarrow A=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cdot \sqrt{\frac{|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}}{|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}}-\frac{\left(\left.\vec{a} \cdot \vec{b}\right|^{2}\right.}{|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}}}=\frac{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|} \cdot \sqrt{|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}}=\sqrt{|\vec{a}|^{2} \cdot|\vec{b}|^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}} \)

Aber wie soll ich jetzt die vektorielle Flächeninhaltsformel mit der vektoriellen Winkelformel mit dem oben genannten Zusammenhang beweisen.