Aloha :)
Wenn es dir gelingt, die Funktion mit den bekannten Mitteln der Differentialrechnung zu differenzieren, dann ist sie differenziebar (du hast es ja dann gemacht). Wir leiten daher die Funktion ab und prüfen, ob die Ableitung eventuell an einigen Stellen \(x\in\mathbb R\) nicht definiert ist. An diesen Stellen müssen wir die Funktion gesondert auf Differenzierbarkeit untersuchen.
An der Stelle \(x=-1\) ist die Funktion nicht definiert, also erst recht nicht differenzierbar.
Für alle anderen \(x\ne-1\) führt uns die Quotientenregel auf:$$f'(x)=\left(\frac{(1+x)^2}{1+x^3}\right)'=\left(\frac{(1+x)^2}{1\red{-x+x}\green{-x^2+x^2}+x^3}\right)'$$$$\phantom{f'(x)}=\left(\frac{(1+x)^2}{(1\red{-x}\green{+x^2})+(\red{x}\green{-x^2}+x^3)}\right)'=\left(\frac{(1+x)^2}{(1-x+x^2)\cdot(1+x)}\right)'$$$$\phantom{f'(x)}=\left(\frac{\red{1+x}}{\green{1-x+x^2}}\right)'=\frac{\red1\cdot(\green{1-x+x^2})-(\red{1+x})\cdot(\green{2x-1})}{(\green{1-x+x^2})^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{(1-x+x^2)-(x+2x^2-1)}{(1-x+x^2)^2}=-\frac{x^2+2x-2}{(x^2-x+1)^2}$$
Der Nenner ist über ganz \(\mathbb R\) positiv:$$x^2-x+1=x^2-x+\frac14+\frac34=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34$$Daher ist die Funktion für alle \(x\in\mathbb R^{\ne-1}\) aus ihrem Definitionsbereich differenzierbar.
