In welchen Punkten ist die folgende Funktion differenzierbar?

Question

Aufgabe:

In welchen Punkten ist die folgende Funktion differenzierbar? Man berechne dort die Ableitung:

\( \mathrm{f}(\mathrm{x}):=\left|\frac{1+\mathrm{x}}{1-\mathrm{x}}\right|^{\mathrm{x}^{2}} \quad(\mathrm{x} \in \mathrm{R} \backslash\{ \)

Hinweis: \( \quad \mathrm{x}^{\mathrm{x}}=\left(\mathrm{e}^{\ln \mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}} \)

Answer 1

Wenn (1+x)(1-x)>0 ⇒ 1-x^2>0 ⇒ x^2<1 ⇒ -1<x<1:

$$f(x)=\left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{x^2}=e^{\ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right)^{x^2}}}=e^{x^2 \ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right)}}$$

$$f'(x)=\left(  e^{x^2 \ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right)}} \right)'=e^{x^2 \ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right)}} \cdot \left( x^2 \ln{\left( \frac{1+x}{1-x}\right)}\right)' \\ =e^{x^2 \ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right)}} \cdot  \left( 2x \ln{\left( \frac{1+x}{1-x} \right) }+x^2 \left( \frac{1-x}{1+x}  \right) \left( \frac{1+x}{1-x} \right)' \right)$$

Kannst du weitermachen?


Kannst du den Fall (1+x)(1-x)<0 versuchen?