Umformen so dass k raus kommt?

Question

Aufgabe:

ln ( T3/T2) = ln (p3/p2) * (k-1)/k

Problem/Ansatz:

könnt ihr mir vielleicht bei der Umformung helfen , denn es sollte  k raus kommen . Ich weiß nicht ganz genau wie ich das umformen soll.

Vielen dank

Answer 1

Zur besseren Lesbarkeit setze ich

$$t =\ln \frac{T_3}{T_2},\: p =\ln \frac{p_3}{p_2}$$

Also brauchst du nur

$$t=p\cdot \frac{k-1}k$$ nach \(k\) auflösen. Das geht fix:

$$\begin{array}{rcl}tk & = & p (k-1) \\ tk & = & p k-p \\ (t-p)k & = & -p \\ k &= &-\frac{p}{t-p} \\ k &= &\frac{p}{p-t} \end{array}$$

Jetzt setzt du für \(t\) und \(p\) die Logarithmen ein und bist fertig:

$$k = \frac{\ln \frac{p_3}{p_2}}{\ln \frac{p_3}{p_2} - \ln \frac{T_3}{T_2}}$$

Answer 2

Leider falsch, weil ein Bruchstrich nicht gesehen, sorry

Wenn du das ausmultiplizierst hasst du

k^2-k-ln (T3/T2)/ln (p3/p2)=0 eine einfache quadratische Gleichung , die du mit der pq Formel lösen kannst  p=-1, q= ln (T3/T2)/ln (p3/p2)

Gruß lul

Answer 3

Aloha :)

$$\ln\left(\frac{T_3}{T_2}\right)=\ln\left(\frac{p_3}{p_2}\right)\cdot\frac{k-1}{k}=\ln\left(\frac{p_3}{p_2}\right)\cdot\left(\frac kk-\frac1k\right)=\ln\left(\frac{p_3}{p_2}\right)\cdot\left(1-\frac1k\right)\quad\bigg|\div\ln\left(\frac{p_3}{p_2}\right)$$$$1-\frac1k=\frac{\ln(T_3/T_2)}{\ln(p_3/p_2)}\quad\bigg|-1$$$$-\frac1k=\frac{\ln(T_3/T_2)}{\ln(p_3/p_2)}-1\quad\bigg|\cdot(-1)$$$$\frac1k=1-\frac{\ln(T_3/T_2)}{\ln(p_3/p_2)}\quad\bigg|\text{Kehrwerte}$$$$k=\frac{1}{1-\frac{\ln(T_3/T_2)}{\ln(p_3/p_2)}}$$