Aufgabe:
Hallo, ich bin gerade dabei, eine Umformung zu Resolventenmengen nachzuvollziehen. Wenn man zwei Operatoren S, T betrachtet, die als Produkte der Form S=PQ und T=QPdargestellt werden können, und $$\lambda \in \rho(T)$$ annimmt ($$\rho$$ bezeichnet die Resolventenmenge von T), so soll gelten
$$(S-\lambda Id)^{-1}=\lambda^{-1}(P(T-\lambda Id)^{-1}Q-Id)$$
Wieso kann man so umformen? Ich habe versucht die Produktdarstellung von S einzusetzen und in der Mitte die Identität, verpackt als Resolventenabbildung mal $$(T-\lambda Id)$$, einzusetzen. Aber eigentlich weiss man bislang ja nicht einmal, dass die linke Seite überhaupt existiert. Die Umformung ist notwendig, um zu schließen, dass $$\lambda \in \rho(S)$$. Das folgt dann, weil es eine Darstellung für die Resolventenabbildung gibt, richtig? Ich wäre für Hilfe bei der Umformung sehr dankbar. Danke im Voraus!