Wieso darf ich in diesen Term die Summenzeichen so umformen?

Question

Aufgabe:

Bei dem letzten Rechenschritt komme ich nicht weiter. wieso kann ich hier die Summenformeln umformen?

Answer 1

Aloha :)

Nach der Summenformel für die "geometrische Reihe" gilt:$$\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}\quad;\quad\text{falls}\;|q|<1$$Bei dir fängt die Summe nicht bei \(n=0\), sondern bei \(n=1\) an, also ist die rechte Seite um \(q^0=1\) zu groß, sodass wir rechts eine \(1\) subtrahieren müssen:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}-1=\frac{1-(1-q)}{1-q}=\frac{q}{1-q}\quad;\quad\text{falls}\;|q|<1$$Für \(q=\frac{1}{9}\) und \(q=\frac{4}{9}\) erhältst du die Doppelbrüche in deiner Lösung.

Answer 2

$$\frac{5}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{12}\cdot \frac{4}{5}=\frac{5\cdot 1}{3\cdot 8}+\frac{1\cdot 4}{12\cdot 5}=\frac{5}{24}+\frac{4}{60}=\frac{5\cdot 5}{24\cdot 5}+\frac{4\cdot 2}{60\cdot 2}=\frac{25}{120}+\frac{8}{120}=\frac{33}{120}=\frac{33:3}{120:3}=\frac{11}{40}$$

Comments

und wie macht man den schritt davor?

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Kehrbruch:$$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}}=\frac{1}{9}\cdot \frac{9}{8}$$

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ich meinte vom 1. term zum 2. term. wieso darf man das so umformen ?

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$$\frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}}=\frac{1}{9}\cdot \frac{9}{8}=\frac{9}{72}=\frac{9:9}{72:9}=\frac{1}{8}$$

Answer 3

wieso kann ich hier die Summenformeln umformen?

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe