Umformen von Summenzeichen mit quadriertem Term

Question

Aufgabe:

Hallo, ich wäre wirklich dankbar, wenn mir jemand zeigen könnte wie man auf diese Gleichheit kommt:

$$ \frac{1}{41} \sum_{i=1}^{42}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\frac{1}{41} \sum_{i=1}^{42}\left(x_{i}^{2}-42 \bar{x}^{2}\right) $$

mit $$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} $$

Problem/Ansatz:

keiner leider.

Comments

Was verstehst Du unter $$ \bar{x} $$ Das arithmetische Mittel?

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Sorry, aber ja im Skrip ist das das Stichproben-Mittel und das ist glaube ich äquivalent zum arithmetischen Mittel

Also: $$ \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} $$

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Damit, dass du mich darauf aufmerksam gemacht hast das $$\bar{x}$$ nicht nur als zweite Variable anzusehen hast du mich jetzt glaube auch auf einen Lösungsweg gebracht

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Gerne geschehen.

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Das sieht doch fast so aus wie der Verschiebungssatz.

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung ist allgemein gültig, denn:$$\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^N(x_i-\overline x)^2$$$$=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^N(x_i^2-2x_i\overline x+{\overline x}^2)$$$$=\frac{1}{N-1}\left(\sum\limits_{i=1}^N x_i^2-\sum\limits_{i=1}^N 2x_i\overline x+\sum\limits_{i=1}^N{\overline x}^2\right)$$$$=\frac{1}{N-1}\left(\sum\limits_{i=1}^N x_i^2-2\overline x\underbrace{\sum\limits_{i=1}^N x_i}_{=N\cdot\overline x}+\underbrace{\sum\limits_{i=1}^N{\overline x}^2}_{=N\cdot{\overline x}^2}\right)$$$$=\frac{1}{N-1}\left(\sum\limits_{i=1}^N x_i^2-2\overline x\cdot N\cdot\overline x+N\cdot{\overline x}^2\right)$$$$=\frac{1}{N-1}\left(\sum\limits_{i=1}^N x_i^2-2N{\overline x}^2+N\cdot{\overline x}^2\right)$$$$=\frac{1}{N-1}\left(\sum\limits_{i=1}^N x_i^2-N\,{\overline x}^2\right)$$

Answer 2

wie man auf diese Gleichheit kommt

Man wählt x_i = 0 für alle i ∈ {1, ..., 42}.

Im Allgemeinen stimmt die Gleichung nicht, wie man sieht indem man x_i = 1 für alle i ∈ {1, ..., 42} wählt.