Wie kann man hier den Term umformen?

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N gilt:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{k}>\frac{n}{2} \)

I.S.:

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{2^{n+1}-1} \frac{1}{k}=\sum \limits_{k=1}^{2^{n}-1} \frac{1}{k}+ \)

Wie kann man hier den Term umformen? Geht das mit dem Indexverschiebung?

Comments

Werter j

Jetzt hat deine Frage in einem langen, leider gelöschten Thread schon so oft für Heiterkeit gesorgt, dass du endlich auch einen Lösungshinweis verdient hast.

Dein Ansatz ist völlig richtig, die drei Punkte müssen offensichtlich den Rest der Summe enthalten, der in dem ersten Teil noch nicht berücksichtigt ist,
also   ... = Σ [k=2^n bis 2ⁿ⁺¹-1] 1/k
Ziel ist es zu zeigen, dass die Gesamtsumme größer als (n+1)/2 also größer als n/2 + 1/2  ist.
Für den ersten Teil, den du schon hingeschrieben hast, ist nach IV klar, dass er größer als n/2 ist. Du bist also fertig, falls gezeigt werden kann, dass der zweite Teil größer als 1/2 ist. Das gelingt, wenn du jeden einzelnen Summanden dieses zweiten Teils durch den kleinsten überhaupt vorkommenden Summanden (oder sogar noch etwas kleiner) abschätzt.

---

hj2166 hat Antipädagogik studiert. Thema der Diplomarbeit: Wie verleidet man Menschen

die Freude an allem unter besonderer Berücksichtigung der Mathematik.

Answer 1

Aloha :)

$$\text{Behauptung:}\quad\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac1k>\frac n2\quad\text{für }n\in\mathbb N$$

Verankerung bei \(n=1\):

$$\sum\limits_{k=1}^{2^n-1}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{2^1-1}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{1}\frac1k=\frac11=1>\frac12=\frac n2\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):

Wir zeigen zuerst:\(\quad\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac1k>\frac12\)

Die Summe umfasst \((2^{n+1}-1-2^n+1)=2\cdot2^n-2^n=2^n\) Summanden. Alle Summanden \(\frac1k\) sind größer als \(\frac1{2^{n+1}}\). Daher können wir folgende Abschätzung treffen:$$\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac1k>\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac{1}{2^{n+1}}=2^n\cdot\frac{1}{2^{n+1}}=\frac12$$Damit lautet der Induktionsschritt nun so:$$\sum\limits_{k=1}^{2^{n+1}-1}\frac1k=\sum\limits_{k=1}^{2^{n}-1}\frac1k+\sum\limits_{k=2^n}^{2^{n+1}-1}\frac1k>\sum\limits_{k=1}^{2^{n}-1}\frac1k+\frac12\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{>}\frac n2+\frac12=\frac{n+1}{2}\quad\checkmark$$