Ah verstehe. Das sollte man aber besser nicht so machen, weil es im ungünstigsten Fall passieren kann, dass durch eine zu grobe Abschätzung nach unten einer Seite, die neu entstandene Ungleichung (mit den vorausgesetzten Nebenbedingungen) falsch ist. Außerdem ist der Sinn im Induktionsschritt, die Umformungen so zu gestalten, dass am Ende die Induktionsbehauptung rauskommt. Denn so hat man ja gezeigt, dass die Behauptung für alle natürlichen Zahlen (ab einen Startwert) wahr ist. Startet man hingegen gleich mit der Behauptung (was hier getan wird) und sie im ungünstigsten Fall auch noch falsch ist, so kann man daraus alles Mögliche schlussfolgern (aus falschen Aussagen lassen sich wahre Aussagen schlussfolgern).
Fange also auf eine der beiden Seiten an und schätze so passend ab, um zur Behauptung zu gelangen.
Lange Rede kurzer Sinn. Eine Umsetzung würde so aussehen:
$$ \begin{aligned}&2^{n+1}\\[5pt]&=2\cdot 2^n\\[5pt]&\stackrel{(IV)}{\geq }2\cdot n^2\\[5pt]&=n^2+n^2\\[5pt]&=n^2+n\cdot n\\[5pt]&=n^2+n\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot n+\frac{1}{2}\cdot n\right)\\[5pt]&\stackrel{n\geq 4}{\geq}n^2+n\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot n\right)\\[5pt]&=n^2+2\cdot n+\frac{1}{2}\cdot n^2\\[5pt]&\stackrel{n\geq 4}{\geq }n^2+2\cdot n+\frac{1}{2}\cdot 4^2\\[5pt]&=n^2+2\cdot n+8\\[5pt]&\geq n^2+2\cdot n+1\\[5pt]&=(n+1)^2 \end{aligned}$$