(1+1/(n+1))^{n+1} < n+1 für n≥ 3. Vollständige Induktion

Question

Beweisen Sie die folgende Aussage mit vollständiger Induktion.
Für n≥ 3 ist ( 1+1/n)^n < n.

IA und IH hab ich schon ich bin beim Induktionsschritt und komme bis zu dem folgenden Ergebnis:

(1+1/(n+1))^{n+1} = (1+1/(n+1))^n * (1+1/(n+1))^1  und jetzt komme ich leider nicht mehr weiter.

Comments

Was genau ist die Behauptung?

Woher hast du in der Rechnung plötzlich 'hoch n' ?

 (1+1/(n+1))¹ = ((n+1) + 1)/(n+1) = (n+2)/(n+1)

---

(1+1/n+1)^{n+1} das ist der korrekte IS
und (1+1/n)^n < n ist die korrekte Behauptung! Entschudligung!

---

Ich habe die Exponenten und zusätzlich die nötigen Klammern um den Nenner auch noch ergänzt.

(1+1/(n+1))ⁿ⁺¹ < n+1 das ist dann die korrekte Behauptung im IS

 

Anmerkung: Gemäss https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl geht  ( 1+1/n)ⁿ für n gegen unendlich gegen e.

---

Und wie mache ich dann weiter?

Answer 1

lim n→∞

(1 + 1/n)^n
= EXP(LN((1 + 1/n)^n))
= EXP(n·LN(1 + 1/n))
= EXP(LN(1 + 1/n) / (1/n)) Regel von Hospital
= EXP(n/(n + 1))
= EXP(1 - 1/(n + 1))
= EXP(1 - 0)
= e

Induktionsschritt

(1 + 1/(n + 1))^{n + 1} < n + 1   | 1/(n + 1) < 1/n
(1 + 1/n)^{n + 1} < n + 1
(1 + 1/n) * (1 + 1/n)^{n} < n + 1   | (1 + 1/n)^{n} < n
(1 + 1/n) * n < n + 1
n + 1 < n + 1

Wir haben jetzt auf der Linken Seite zweimal eine Abschätzung nach oben gemacht und erhalten nur den Termwert der rechten Seite. Daher ist der Term auf der linken Seite kleiner.