Aloha :)
Eine Folge (an) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn es für alle ε∈R>0 ein n0∈N gibt, sodass für alle n≥n0 gilt: ∣an−a∣<ε.
In den Beweis wurde dies auf die Forderung n<!(1+ε)n zurückgeführt. In dem Folgenden geht es dann darum, ein n0 zu finden, ab dem diese Forderung für alle weiteren n gültig ist.
Ich finde den Beweis auch eher verwirrend und umständlich. Mit der Bernoulli-Ungleichung(1+x)n≥1+nxfu¨r x≥−1;n∈N0erhält man schnell folgende Abschätzung:
(1+n1)n≥1+nn=1+n>n=n1/2⟹nn=nn1=(n1/2)n2<((1+n1)n)n2=(1+n1)2=1+n2+n1≤1+n3
Wählen wir nun ein ε>0, so gilt:∣∣∣nn−1∣∣∣≤∣∣∣∣∣1+n3−1∣∣∣∣∣=n3<!ε⟺n9<ε2⟺n>ε29Für alle n≥n0 mit n0=⌈ε29⌉ gilt also ∣nn−1∣<ε. Damit ist der Grenzwert 1 bestätigt.