Beweis zum Grenzwert der n-ten Wurzel aus n

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 \)

Problem/Ansatz:

In der Lösung bzw in der Erklärung zum Beweis steht folgendes:

Quelle: "n-te Wurzel von n" auf https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert:_Beispiele

Ich verstehe diesen Beweis nicht ganz. Warum muss man Zeigen, dass $$n$$ kleiner ist, als eine Teilsumme von $$(\epsilon + 1)^n$$ ? Und woher weiß ich überhaupt, dass das tatsächlich so ist, und das nicht eine größere Teilsumme benötigt wird? Würden größere Teilsummen auch gültig sein? Und wie sehe das aus, wenn man den Grenzwert aus der n-ten Wurzel von n + 1 oder n^2 zeigen wollen würde? (Welcher logischerweise auch 1 wäre)

Answer 1

Aloha :)

Eine Folge \((a_n)\) konvergiert gegen den Grenzwert \(a\), wenn es für alle \(\varepsilon\in\mathbb R^{>0}\) ein \(n_0\in\mathbb N\) gibt, sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|a_n-a|<\varepsilon\).

In den Beweis wurde dies auf die Forderung \(n\stackrel!<(1+\varepsilon)^n\) zurückgeführt. In dem Folgenden geht es dann darum, ein \(n_0\) zu finden, ab dem diese Forderung für alle weiteren \(n\) gültig ist.

Ich finde den Beweis auch eher verwirrend und umständlich. Mit der Bernoulli-Ungleichung$$(1+x)^n\ge1+nx\quad\text{für }x\ge-1\;;\;n\in\mathbb N_0$$erhält man schnell folgende Abschätzung:

$$\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n\ge1+\frac{n}{\sqrt n}=1+\sqrt n>\sqrt n=n^{1/2}\quad\implies$$$$\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}=\left(n^{1/2}\right)^{\frac{2}{n}}<\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n\right)^{\frac{2}{n}}=\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^2=1+\frac{2}{\sqrt n}+\frac 1n\le1+\frac{3}{\sqrt n}$$

Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\), so gilt:$$\left|\sqrt[n]{n}-1\right|\le\left|1+\frac3{\sqrt n}-1\right|=\frac3{\sqrt n}\stackrel!<\varepsilon\Longleftrightarrow\frac{9}{n}<\varepsilon^2\Longleftrightarrow n>\frac{9}{\varepsilon^2}$$Für alle \(n\ge n_0\) mit \(n_0=\left\lceil\frac{9}{\varepsilon^2}\right\rceil\) gilt also \(|\sqrt[n]{n}-1|<\varepsilon\). Damit ist der Grenzwert \(1\) bestätigt.