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Aufgabe:

Zeigen Sie

limnnn=1 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1


Problem/Ansatz:

In der Lösung bzw in der Erklärung zum Beweis steht folgendes:

Quelle: "n-te Wurzel von n" auf https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Grenzwert…

blob.png


Ich verstehe diesen Beweis nicht ganz. Warum muss man Zeigen, dass nn kleiner ist, als eine Teilsumme von (ϵ+1)n(\epsilon + 1)^n ? Und woher weiß ich überhaupt, dass das tatsächlich so ist, und das nicht eine größere Teilsumme benötigt wird? Würden größere Teilsummen auch gültig sein? Und wie sehe das aus, wenn man den Grenzwert aus der n-ten Wurzel von n + 1 oder n^2 zeigen wollen würde? (Welcher logischerweise auch 1 wäre)

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Aloha :)

Eine Folge (an)(a_n) konvergiert gegen den Grenzwert aa, wenn es für alle εR>0\varepsilon\in\mathbb R^{>0} ein n0Nn_0\in\mathbb N gibt, sodass für alle nn0n\ge n_0 gilt: ana<ε|a_n-a|<\varepsilon.

In den Beweis wurde dies auf die Forderung n<!(1+ε)nn\stackrel!<(1+\varepsilon)^n zurückgeführt. In dem Folgenden geht es dann darum, ein n0n_0 zu finden, ab dem diese Forderung für alle weiteren nn gültig ist.

Ich finde den Beweis auch eher verwirrend und umständlich. Mit der Bernoulli-Ungleichung(1+x)n1+nxfu¨x1  ;  nN0(1+x)^n\ge1+nx\quad\text{für }x\ge-1\;;\;n\in\mathbb N_0erhält man schnell folgende Abschätzung:

(1+1n)n1+nn=1+n>n=n1/2    \left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n\ge1+\frac{n}{\sqrt n}=1+\sqrt n>\sqrt n=n^{1/2}\quad\impliesnn=n1n=(n1/2)2n<((1+1n)n)2n=(1+1n)2=1+2n+1n1+3n\sqrt[n]{n}=n^{\frac{1}{n}}=\left(n^{1/2}\right)^{\frac{2}{n}}<\left(\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^n\right)^{\frac{2}{n}}=\left(1+\frac{1}{\sqrt n}\right)^2=1+\frac{2}{\sqrt n}+\frac 1n\le1+\frac{3}{\sqrt n}

Wählen wir nun ein ε>0\varepsilon>0, so gilt:nn11+3n1=3n<!ε9n<ε2n>9ε2\left|\sqrt[n]{n}-1\right|\le\left|1+\frac3{\sqrt n}-1\right|=\frac3{\sqrt n}\stackrel!<\varepsilon\Longleftrightarrow\frac{9}{n}<\varepsilon^2\Longleftrightarrow n>\frac{9}{\varepsilon^2}Für alle nn0n\ge n_0 mit n0=9ε2n_0=\left\lceil\frac{9}{\varepsilon^2}\right\rceil gilt also nn1<ε|\sqrt[n]{n}-1|<\varepsilon. Damit ist der Grenzwert 11 bestätigt.

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