Grenzwert berechnen mithilfe von binomischen lehrsatz

Question

Aufgabe:

lim(n->unendlich) n*q^n soll der grenzwert berechnet werden.

0<q<1

Problem/Ansatz:

Wenn q^-1= 1+h ist, gilt : n/(1+h)^n, h>0

<==> n/(summe von k=0 bis n)(n über k)*h^k

<==> (hier bin ich mir unsicher)

lim n/n!*h^k * 1/k!(n-k) = 0, da n! schnell(gegen unendlich) wächst

Stimmt das hier?

Comments

Die Reihe  Σ [n=1 .. ∞] n·q^n =  q / (1-q)^2  konvergiert, was sie nur kann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden.

Answer 1

Hallo,

Du machst es Dir unnötig schwer, wenn Du den allgemeinen Binomialkoeffizienten beurteilen willst (der allerdings tatsächlich gegen unendlich geht) Einfacher geht es mit einer Abschätzung:

$$\frac{n}{(1+h)^n}=\frac{n}{\sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} h^k} \leq \frac{n}{\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} h^2} =\frac{2}{(n-1)h^2} $$

Das konvergiert offenbar gegen 0.

Gruß

Comments

Warum ist n über 2 gleich n-1

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Und warum darf k = 2 sein?

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Hallo,

n über 2 ist \(\frac{n(n-1)}{2}\). Das ist dann mit dem n im Zähler verarbeitet.

Die ganze Summe ist nach unten abgeschätzt durch den Term mit k=2.

Gruß

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Muss die 2 nicht am ende beim nenner stehen?

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Wie dividiert man Brüche?

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Mein fehler, tut mir leid

Answer 2

Aloha :)

Wegen \(0<q<1\) ist \(\frac{1}{q}>1\) und wir können ein \(x\,:\!=\frac{1}{q}-1>0\) definieren, sodass:$$q=\frac{1}{1+x}$$Im Folgenden sei stets \(n\ge3\) vorausgesetzt, was insofern keine Einschränkung ist, dass wir den Grenzwert \(n\to\infty\) untersuchen möchten. Aus dem binomischen Lehrsatz wählen wir den Summanden mit \(k=3\) aus:$$(1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}x^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\ge\binom{n}{3}x^3=\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)x^3$$und können wegen der Abschätzung$$\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)x^3>\frac{1}{6}(n-2)^3x^3$$und der Äquivalenz$$\frac{1}{6}(n-2)^3x^3\stackrel!>(n-2)^2\quad\Leftrightarrow\quad(n-2)x^3>6\quad\Leftrightarrow\quad n>\frac{6}{x^3}+2$$feststellen, dass gilt:$$(1+x)^n>(n-2)^2\quad\text{für}\quad n\ge n_0\,:\!=\operatorname{max}\left\{\left\lceil\frac{6}{x^3}+2\right\rceil\;;\;3\right\}$$Wegen der Definition von \(x\) heißt das:$$\left(\frac{1}{q}\right)^n>(n-2)^2\quad\Leftrightarrow\quad q^n<\frac{1}{(n-2)^2}\quad\Leftrightarrow\quad nq^n<\frac{n}{(n-2)^2}\quad\text{für}\quad n\ge n_0$$Damit is klar, dass \((nq^n)\) eine Nullfolge ist.