Wie zeige ich, dass dieser Grenzwert stimmt? Beweis, Begründung,.. lim (n^2*4^n)/(5^n) = 0

Question

Wie zeige ich, dass das stimmt? Ich habe es bereits mit Umformungen und mit der Definition "Zu jedem ϵ > 0 existiert ein N ∈ Νat. Zahlen, so dass für alle n > N gilt: |an − b| < ϵ" probiert.

Answer 1

Im Prinzip läuft es auf

lim (n^2*4^n)/(5^n) = lim (n^2)*(4/5)^n heraus. 

Da die Exponentialfunktionen "stärker" sind  als jede Potenz von n und |4/5| < 1, konvergiert die angegebene Folge.

Ich weiss natürlich nicht ob ihr einen entsprechenden Satz irgendwo bewiesen habt. Du könntest auch zwei mal Hospital nehmen nach folgender Bruchrechnung:

lim (n^2*4^n)/(5^n) = lim (n^2)*(4/5)^n =  lim (n^2) / (5/4)^n  

Comments

Schreib dies doch als Antwort, Lu.

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Gemacht. Du machst dann die Epsilon-Geschichte, falls die gewünscht ist(?) ;)

Answer 2

für große n gilt n^2<(11/10)^n (kann man mit Induktion zeigen)

Deshalb ist 0<=n^2*(4/5)^n<(11/10)^n * (4/5)^n = (22/25)^n

Nach dem Sandwichkriterium konvergiert die Folge gegen 0.