Beweis von Konvergenz der Folge an:= (n+2)(n-3)/(n^2 + 4) gegen 1.

Question

Es geht um den Beweis der Konvergenz von folgender Folge:

$$ a _ { n } = \frac { ( n + 2 ) · ( n - 3 ) } { n ^ { 2 } + 4 } $$

Als Grenzwert der Folge hab ich durch Ausklammern bereits 1 erhalten. Nun bin ich mir nicht sicher wie ich die Konvergenz der Folge mit

$$| a _ { n } - g | = | \frac { ( n + 2 ) · ( n - 3 ) } { n ^ { 2 } + 4 } - 1 | < ε$$

beweisen soll.

Answer 1

Du kannst den Term innerhalb der Betragstriche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Zähler so weit wie möglich vereinfachen und dann mit (n^2 + 4) multiplizieren.
Jetzt einfach mal < durch = ersetzen.

Erst mal die quadratische Gleichung nach n auflösen. Und dann überlegen auf welcher Seiten von n . Der Term nun kleiner als Epsilon ist.

Sollte die Gleichung 2 versch. n-Werte als Lösung haben, was anzunehmen ist, noch schreiben, warum du jetzt, welchen nimmst.