Teilbarkeitsregeln im 10er-System: Beweisen Sie folgende Sätze

Question

Sei z_n z_n-1 z_n-2 ... z₂ z₁ z₀ die Zifferndarstellung der natürlichen Zahl a und z_n + z_n-1 + z_n-2 + ... + z₂ + z₁ + z₀ die Quersumme von a.

a) Wenn 2 Ι z₀, dann gilt: 2 Ι a.

b) Wenn 8 Ι z₂z₁z₀, dann gilt: 8 Ι a.

c) Wenn 3 Ι Q(a), dann gilt: 3 Ι a.

Answer 1

a lässt sich schreiben als 

a = z0 + z1·10^1 + z2·10^2 + z3·10^3 + ... + zn·10^n

a) Wenn 2 Ι z₀, dann gilt: 2 Ι a.

Eine Zahl a ist durch 2 teilbar, wenn jeder Summand durch 2 teilbar ist. Summanden in denen der Faktor 10 ist sind aber immer durch 2 teilbar. Wenn dann noch z0 durch 2 teilbar ist ist jeder Summand durch 2 teilbar und damit ist die Summe durch 2 teilbar.

Probier mal ähnliche Überlegungen für b) und c) anzustellen und das vielleicht formal etwas besser aufzuschreiben, indem man z.B. bei der 2 tatsächlich einen Faktor 2 ausklammert.