Mir fehlt auch jeglicher Ansatz. Danke schon mal für die Hilfe.
a) Sei x eine Zahl, die aus 81 Einsen und n Nullen (n≥0) zwischen jedem Paar Einsen besteht. Zeige,dass x durch 81 teilbar ist.
Induktionsbeweis möglich / nötig?
Beginne mal n=0 und ein paar Vielfachen von 81 .
Ist denn sicher, dass die Behauptung stimmt?
Bei 81 Einsen ist die Quersumme 81.
Die Quersumme von 81 ist 9.
Die Quersumme von 9 ist 9.
Hilft das ein Stück weit?
Jede Zahl mit der Quersumme 81 ist durch 81 teilbar. Das trifft hier offenbar auch zu. Falls man dies nicht verwenden soll: Was darf vorausgesetzt werden?
"Jede Zahl mit der Quersumme 81 ist durch 81 teilbar"
Hm... das stimmt aber gar nicht! :-(
SInd es \(n\) 0'en oder 80 0'en (zwischen jedem Paar 1'en)? Die Zahl \(10111...1\) mit 81 1'en und \(n=1\) ist nicht durch 81 teilbar.
So ist es gemeint:
10000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000\01000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100\00100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010\00010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001\00001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000\1000010000100001000010000100001
für n=4
Bis jetzt wissen wir wohl, dass die Zahl durch 9 teilbar ist. (allenfalls auch 27 . Das ginge über die nichtalternierde 3er-Quersumme (was immer das ist) Ist das bekannt? https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_basierend_auf_nichtalternierenden_Quersummen )
Ob man da auf die Basis 3 umrechnen muss / kann ?
https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_in_beliebigen_Zahlensystemen
Tipp:
$$ x=\sum_{k=0}^{80}{(10^{n+1})^{k}} $$
und Anwendung der geometrischen Summenformel
Ok, das habe ich bisher auch.
Ein anderes Problem?
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