Teilbarkeitsregeln (erweitert) Zahl aus 81 Einsen und beliebig vielen Nullen.

Question

Mir fehlt auch jeglicher Ansatz. Danke schon mal für die Hilfe.

a) Sei x eine Zahl, die aus 81 Einsen und n Nullen (n≥0) zwischen jedem Paar Einsen besteht. Zeige,dass x durch 81 teilbar ist.

Comments

Induktionsbeweis möglich / nötig?

Beginne mal n=0 und ein paar Vielfachen von 81 .

Ist denn sicher, dass die Behauptung stimmt? 

Bei 81 Einsen ist die Quersumme 81. 

Die Quersumme von 81 ist 9.

Die Quersumme von 9 ist 9. 

Hilft das ein Stück weit? 

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Jede Zahl mit der Quersumme 81 ist durch 81 teilbar. Das trifft hier offenbar auch zu. Falls man dies nicht verwenden soll: Was darf vorausgesetzt werden?

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"Jede Zahl mit der Quersumme 81 ist durch 81 teilbar"

Hm... das stimmt aber gar nicht! :-(

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SInd es \(n\) 0'en oder 80 0'en (zwischen jedem Paar 1'en)? Die Zahl \(10111...1\) mit 81 1'en und \(n=1\) ist nicht durch 81 teilbar.

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So ist es gemeint:

10000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000\
01000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100\
00100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010\
00010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001\
00001000010000100001000010000100001000010000100001000010000100001000010000\
1000010000100001000010000100001

für n=4

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Bis jetzt wissen wir wohl, dass die Zahl durch 9 teilbar ist. (allenfalls auch 27 . Das ginge über die nichtalternierde 3er-Quersumme (was immer das ist) Ist das bekannt? https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_basierend_auf_nichtalternierenden_Quersummen )

Ob man da auf die Basis 3 umrechnen muss / kann ?

https://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeitsregeln_in_beliebigen_Zahlensystemen 

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Tipp:

$$ x=\sum_{k=0}^{80}{(10^{n+1})^{k}} $$

und Anwendung der geometrischen Summenformel

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Ok, das habe ich bisher auch.