Beweis Grenzwert mit Epsilontik. Bsp. lim(n->∞) (n^{3}+2n)/(3n^{3}-6)=1/3

Question

die Aufgabe dazu lautet : z.Z: lim(n->∞) (n^3+2n)/(3n^3-6)=1/3 , und das soll  nur mit der Epsilontik gelöst werden.

Ich habe mir leichtere Aufgaben dazu angeguckt, wo es funktioniert aber bei dieser Aufgabe klappt es bei mir nicht. Ich habe bisher |an-1/3|= ....=|(6n-6)/(9n^3-18)|

Wenn ich das dann aber kleiner als ε setze und es nach n umschreiben will, bekomme ich kein gutes Ergebnis.

Würde mich sehr freuen, wenn mir da jemand weiterhelfen kann.

LG

Answer 1

Ich habe \(\left\vert\dfrac{2n+2}{3n^3-6}\right\vert\) raus. Du musst nicht ein möglichst kleines n berechnen. Besser wären geeignete Abschätzungen.

Comments

ok und weiter...? wie komme ich dann auf 1/3?

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Z.B. gilt für n>2$$\left\vert\frac{2n+2}{3n^3-6}\right\vert<\frac{3n}{2n^3}=\frac3{2n^2}.$$

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ich sehe immernoch nicht wie daraus 1/3 folgt..

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Spacko hat gezeigt, dass

$$|a_n-1/3|<\frac{3}{2n^2}<\epsilon$$

Letzteres bekommst du für ein hinreichend großes n immer beliebig klein, daher kleiner als jedes epsilon. Damit ist die Konvergenz gegen 1/3 gezeigt

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Ah Dankeschön! :)