Epsilon-Beweis von I(n^2 + n + 4)/( n(n+2) ) -1| < 1/1000

Question

Ich habe für die Aufgabe für Epsilon 1 / 1000 eingesetzt und dann ausgerechnet. Ist das so richtig?

\( \left|\frac{n^{2}+n+4}{n(n+2)}-1\right|<\frac{1}{1000} \)

\( \left|\frac{n^{2}+n+4-n^{2}-2 n}{n^{2}+2 n}\right|<\frac{1}{1000} \)

\( \left|\frac{-n+4}{n^{2}+2 n}\right|<\frac{1}{1000} \)

\( \frac{-(-n+4)}{n^{2}+2 n}<\frac{1}{1000} \)

\( \frac{n-4}{n^{2}+2 n}<\frac{1}{1000} \)

\( 1000 n-4000<n^{2}+2 n \)

\( 0<n^{2}-1000 n+2 n+4000 \)

\( 0<n^{2}-998 n+4000 \)

Mit p-q-Formel:

\( \mathrm{n}_{1}=994 \mathrm{n}_{2}=4 \)

Comments

Hinter Zeile 3 solltest du denke ich für n >= 4 schreiben.

In der letzten Zeile fehlen die ungleichheitszeichen. Da darf kein = stehen.

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okay , danke schön! was sagen mir denn n1 und n2 ? normalerweise gibt es doch immer nur ein n am ende :o

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Bei quadratischen Gleichungen kann man keine, eine oder zwei Lösungen haben. In diesem Falle hat man zwei. Wie gesagt fehlen dort aber die ungleichheitszeichen.

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okay , danke ! also mit den ungleichheitszeichen wäre es richtig? weil ich hab von vielen gehört dass es falsch ist da einfach 1/1000 einzusetzen

Answer 1

n1 = 994 habe ich auch.

n2 = -1006 ist aber nicht interessant.

Für n ≥ 994 ist | (n^2 + n + 4) /( n(n+2) ) -1| < 1/1000. 

qed. Hier ist dein Beweis fertig, wenn du für  Epsilon 1/1000 einsetzen darfst.

Allgemein müsstest du aber

| (n^2 + n + 4) /( n(n+2) ) -1| < E

nach n auflösen. Da kannst du genau gleich vorgehen wie oben und bekommst dann eine Formel, die zeigt wie n1 von E abhängt.

Comments

hmm, das verstehe ich jetzt nicht so ganz, bei meinem lehrer hatten wir auch so eine änliche aufgabe, wo man dann die p-q-formel benutzen sollte und dann kamen am ende auch 2 werte raus, nämlich n1 = 755 und n2= 2,7...

warum geht das jetzt hier nicht :0?