(Monotonie von Folgen, Konvergenz von Folgen mit Epsilon-Technik

Question

Man betrachte die Folgen\[\text { i) } a_{n}=\frac{2 n}{n+3}, \quad \text { (ii) } b_{n}=\frac{n}{4^{n}}=\frac{n}{2^{2 n}}\]wobei \( n \in \mathbb{N} \)

a) Untersuchen Sie die beiden Folgen auf Monotonie. Hinweis zu (ii): Eventuell ist es am Ende mal nützlich, '1' oder ein ' \( n \) ' mittels '1 \( \leq n \) ' abzuschätzen.

b) Stellen Sie eine Vermutung auf, gegen welchen Wert \( a \) bzw. \( b \) die Folge \( \left(a_{n}\right) \) bzw. \( \left(b_{n}\right) \) konvergiert.

Answer 1

Aloha :)

Teil (i)$$a_n=\frac{2n}{n+3}=\frac{2n+6-6}{n+3}=\frac{2n+6}{n+3}-\frac{6}{n+3}=2-\frac{6}{n+3}$$$$a_{n+1}-a_n=\left(2-\frac{6}{(n+1)+3}\right)-\left(2-\frac{6}{(n+3}\right)=-\frac{6}{(n+4)}+\frac{6}{(n+3)}$$$$\quad\frac{-6(n+3)+6(n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{6}{(n+4)(n+3)}>0\quad\Rightarrow\quad \underline{a_{n+1}>a_n}$$Die Folge \((a_n)\) ist streng monoton wachsend. Nach der Umformung oben, erwarten wir den Grenzwert \(a_\infty=2\).

Teil (ii)$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{n+1}{4^{n+1}}}{\frac{n}{4^n}}=\frac{n+1}{4^{n+1}}\cdot\frac{4^n}{n}=\frac{1}{4}\cdot\frac{n+1}{n}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)$$Wir nutzen nun den Tipp aus der Aufgabenstellung, dass \(1\le n\) ist. Dann ist nämlich \(\frac{1}{n}\le\frac{n}{n}=1\) und wir finden:$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{n}\right)\le\frac{1}{4}(1+1)=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \underline{b_{n+1}\le\frac{b_n}{2}<b_n}$$Die Folge \((b_n)\) ist streng monoton fallend. Wie gezeigt ist ausgehend von \(b_1=\frac{1}{4}\) jedes direkt folgende Folgenglied maximal halb so groß wie sein Vorgänger, daher erwarten wir den Grenzwert \(b_\infty=0\).

Comments

Die Antwort ist echt schon sehr gut, jetzt soll man aber noch die Vermutung/en aus b) beweisen mit dem Epsilon Kriterium der Konvergenz. Hierbei habe ich folgenden Tipp bekommen, zumindest zur ii) :

Sie stoßen hier auf die Schwierigkeit, dass Sie \( \frac{n_{0}}{4^{n}-0} \leq \epsilon \) nicht explizit nach \( n_{0} \) auflösen können. Sie können diese Schwierigkeit umgehen, indem Sie den Faktor \( n_{0} \) durch \( n_{0} \leq 2^{n_{0}} \) abschätzen. (Dass dies für alle \( n_{0} \in \mathbb{N} \) gilt, könnte man per Induktion beweisen, aber auf den Induktionsbeweis wollen wir hier verzichten.