Wie kann ich diesen Term umformen: 1/5 - (2a/3) + a²

Question

Ich habe diesen Term (1/5 - (2a/3) +a²). Wie kann ich sehen, dass man den Term auch so schreiben kann:

(a-1/3)² * (1/5 - 1/9)

 

 

Answer 1

Erstmal: deine Lösung ist nicht ganz richtig, du hast wohl ein Pluszeichen mit einem Malzeichen verwechselt.

Beim Umstellen geht man folgendermaßen vor:

a² - 2a/3 + 1/5

Die beiden Terme, die ich oben farbig markiert habe, kann man als den Anfang einer binomischen Formel erkennen. 
Die 2. Binomische Formel lautet:

(a-b)² = a² - 2ab + b²

Wenn man also b = 1/3 wählt, erhält man:

(a-1/3)² = a² - 2a/3 + 1/9

Wie du siehst, stimmen die ersten beiden Summanden bereits mit den beiden im Ausgangsterm überein.

 

Mit der sogenannten quadratischen Ergänzung 1/9 kann man im Ausgangsterm die ganze binomische Formel erzeugen, wenn man ihn danach wieder abzieht:

a² - 2a/3 + 1/5 = a² - 2a/3 + 1/9 - 1/9 + 1/5

Wie du siehst ist nun alles da, was man für die binomische Formel braucht. Dadurch, dass 1/9 außerdem direkt wieder abgezogen wird, hast du am Gesamtwert des Terms nichts geändert.

a² - 2a/3 + 1/9 - 1/9 + 1/5 = (a-1/3)² -1/9+1/5

 

Wenn man möchte, kann man jetzt noch die beiden Brüche auf einen Nenner bringen:

(a-1/3)² -1/9+1/5 = (a-1/3)² -5/45+9/45 = (a-1/3)² + 4/45

Answer 2

 

Du kannst dir die binomischen Formeln vorstellen mit anderen Buchstaben, damit es kein Durcheinander gibt.

 z.B.   x² - 2xy + y² = (x - y)²

1/5 - (2a/3) +a²                               Reihenfolge ändern

= a² - (2a*1/3) + 1/5                 Vergleich mit - 2xy                x=a          y = 1/3    

  =  (a² - (2a*1/3) + 1/9) - 1/9 + 1/5                quadratisch ergänzen mit +1/9 -1/9  Jetzt passt die Formel 

= (a-1/3)²   - 1/9  + 1/5

= (a-1/3)²  + (1/5 - 1/9)

Das erwartete Resultat stimmt also nicht ganz.

(a-1/3)² * (1/5 - 1/9)                  richtig ist         (a-1/3)²  + (1/5 - 1/9)