Wieso kann man so umformen?

Question

Aufgabe:

Hallo, ich bin gerade dabei, eine Umformung zu Resolventenmengen nachzuvollziehen. Wenn man zwei Operatoren S, T betrachtet, die als Produkte der Form S=PQ und T=QPdargestellt werden können, und $$\lambda \in \rho(T)$$ annimmt ($$\rho$$ bezeichnet die Resolventenmenge von T), so soll gelten

$$(S-\lambda Id)^{-1}=\lambda^{-1}(P(T-\lambda Id)^{-1}Q-Id)$$

Wieso kann man so umformen? Ich habe versucht die Produktdarstellung von S einzusetzen und in der Mitte die Identität, verpackt als Resolventenabbildung mal $$(T-\lambda Id)$$, einzusetzen. Aber eigentlich weiss man bislang ja nicht einmal, dass die linke Seite überhaupt existiert. Die Umformung ist notwendig, um zu schließen, dass $$\lambda \in \rho(S)$$. Das folgt dann, weil es eine Darstellung für die Resolventenabbildung gibt, richtig? Ich wäre für Hilfe bei der Umformung sehr dankbar. Danke im Voraus!

Answer 1

Hallo,

hier wird vorausgesetzt, dass \(r \neq 0\) ist (ich schreibe r statt \(\lambda\))?

Dann kann man sich die Gleichung so herleiten, dass man vom Grundproblem des Invertierens ausgeht:

$$(S-rI)x=y \Rightarrow PQx-rx=y \Rightarrow QPQx-rQx=Qy \Rightarrow Qx=(T-rI)^{-1}Qy$$

Zurückk zur zweiten Gleichung:

$$x=\frac{1}{r}(PQx-y)=\frac{1}{r}(P(T-rI)^{-1}Qy-y)$$

Das ist die angegebene Formel.

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank!

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Im gleichen Kontext gilt nun $$(S-\lambda Id)^{m} Px= P(T-\lambda Id)^{m}x$$. Weiss jemand weshalb? Daraus möchte man dann eine Abbildung von $$ker(T-\lambda Id)^{m}$$ nach $$ker(S-\lambda Id)^{m}$$ mittels $$ x \mapsto Px$$ bauen, was wegen der ersten Gleichung sinnvoll ist. Auch dies ist mir nicht ganz klar. Insgesamt geht es darum zu zeigen, dass die Vielfachheiten der Eigenwerte von S und T gleich sind.