Kann man diese Ungleichung so umformen, dass wieder x1 > x2 rauskommt?

Question

Aufgabe: Überprüfe auf monoton fallend/steigend f(x)=(2x+3)/(x+1) im Intevall ]-1,∞[ begründe mit Hilfe der Definition. (Ohne Ableitung)

Problem/Ansatz: Moin, ich hab ein Problem mit dem Begründen.

Ich hätte jetzt x₁ < x₂ gesagt und auf monoton fallend überprüft f(x₁) > f(x₂)

(2x₁+3)/(x₁+1) > (2x₂+3)/(x₂+1)

Kann man diese Ungleichung so umformen, dass wieder x₁ < x₂ rauskommt?

Alternativ könnte man einfach 2 Werte einsetzen. Aber denkt ihr das würde ausreichen?

Viele Grüße,
Jazz

Answer 1

Hallo,

Kann man diese Ungleichung so umformen, dass wieder \(x_1 < x_2\) rauskommt?

Ja kann man:$$\begin{aligned} \frac{2x_{1}+3}{x_{1}+1} &\gt \frac{2x_{2}+3}{x_{2}+1} &&|\,\cdot(x_{1}+1)(x_{2}+1)\\ (2x_{1}+3)(x_{2}+1) &\gt (2x_{2}+3)(x_{1}+1) \\ 2x_1x_2 +2x_1 +3x_2 + 3&\gt 2x_1x_2 + 2x_2 + 3x_1 +3\\ 2x_1 +3x_2&\gt 2x_2 + 3x_1\\ x_2&\gt x_1\\ \end{aligned}$$Die Multiplikation in der ersten Zeile ist ohne Rücksicht auf das Größer-Zeichen zulässig, da $$x_1,\,x_2 \in]-1;\, \infty[ \implies x_1,\,x_2 \gt -1$$ Somit ist dieser Faktor sicher \(\gt 0\).

Comments

Hab tausend Dank! Hat mir echt weitergeholfen :)

Answer 2

f ( x ) = (2*x+3)/(x+1)
Polstelle x = -1
D = -1 bis ∞
rechtsseitiger Grenzwert
lim x -> -1(+) = 1(+) / 0 (+) = + ∞
Grenzwert gegen x -> + unendlich
3 und 1 entfällt
2 * x / x = 2

im Definitionsbereich ist die Funktion fallend.