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Aufgabe: Überprüfe auf monoton fallend/steigend f(x)=(2x+3)/(x+1) im Intevall ]-1,∞[ begründe mit Hilfe der Definition. (Ohne Ableitung)



Problem/Ansatz: Moin, ich hab ein Problem mit dem Begründen.

Ich hätte jetzt x1 < x2 gesagt und auf monoton fallend überprüft f(x1) > f(x2)

(2x1+3)/(x1+1) > (2x2+3)/(x2+1)

Kann man diese Ungleichung so umformen, dass wieder x1 < x2 rauskommt?

Alternativ könnte man einfach 2 Werte einsetzen. Aber denkt ihr das würde ausreichen?

Viele Grüße,
Jazz

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Hallo,

Kann man diese Ungleichung so umformen, dass wieder x1<x2x_1 < x_2 rauskommt?

Ja kann man:2x1+3x1+1>2x2+3x2+1(x1+1)(x2+1)(2x1+3)(x2+1)>(2x2+3)(x1+1)2x1x2+2x1+3x2+3>2x1x2+2x2+3x1+32x1+3x2>2x2+3x1x2>x1\begin{aligned} \frac{2x_{1}+3}{x_{1}+1} &\gt \frac{2x_{2}+3}{x_{2}+1} &&|\,\cdot(x_{1}+1)(x_{2}+1)\\ (2x_{1}+3)(x_{2}+1) &\gt (2x_{2}+3)(x_{1}+1) \\ 2x_1x_2 +2x_1 +3x_2 + 3&\gt 2x_1x_2 + 2x_2 + 3x_1 +3\\ 2x_1 +3x_2&\gt 2x_2 + 3x_1\\ x_2&\gt x_1\\ \end{aligned}Die Multiplikation in der ersten Zeile ist ohne Rücksicht auf das Größer-Zeichen zulässig, da x1,x2]1;[    x1,x2>1x_1,\,x_2 \in]-1;\, \infty[ \implies x_1,\,x_2 \gt -1 Somit ist dieser Faktor sicher >0\gt 0.

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Hab tausend Dank! Hat mir echt weitergeholfen :)

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f ( x ) = (2*x+3)/(x+1)
Polstelle x = -1
D = -1 bis ∞
rechtsseitiger Grenzwert
lim x -> -1(+) = 1(+) / 0 (+) = + ∞
Grenzwert gegen x -> + unendlich
3 und 1 entfällt
2 * x / x = 2

im Definitionsbereich ist die Funktion fallend.

Avatar von 123 k 🚀

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