Aloha :)
Wir formen den Term für die Folgenglieder zunächst etwas um. Wir machen daraus einen Bruch, und zwar so, dass wir im Zähler mit Hilfe der dritten binomischen Formel die Wurzeln wegrechnen können:
$$a_n=\sqrt{9n^2-4n}-\sqrt{9n^2-5n+4}$$$$\phantom{a_n}=(\sqrt{9n^2-4n}-\sqrt{9n^2-5n+4})\cdot\overbrace{\frac{(\sqrt{9n^2-4n}+\sqrt{9n^2-5n+4})}{(\sqrt{9n^2-4n}+\sqrt{9n^2-5n+4})}}^{=1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(\overbrace{\sqrt{9n^2-4n}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{9n^2-5n+4}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{9n^2-4n}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{9n^2-5n+4}}^{=b})}{(\sqrt{9n^2-4n}+\sqrt{9n^2-5n+4})}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\overbrace{(9n^2-4n)}^{=a^2}-\overbrace{(9n^2-5n+4)}^{=b^2}}{(\sqrt{9n^2-4n}+\sqrt{9n^2-5n+4})}=\frac{n-4}{(\sqrt{9n^2-4n}+\sqrt{9n^2-5n+4})}$$
Jetzt klammern wir im Zähler und im Nenner \(n\) aus, um es anschließend zu kürzen:$$\phantom{a_n}=\frac{n\left(1-\frac4n\right)}{\sqrt{n^2\left(9-\frac4n\right)}+\sqrt{n^2\left(9-\frac5n+\frac4{n^2}\right)}}=\frac{n\left(1-\frac4n\right)}{n\sqrt{9-\frac4n}+n\sqrt{9-\frac5n+\frac4{n^2}}}$$$$\phantom{a_n}=\frac{\left(1-\frac4n\right)}{\sqrt{9-\frac4n}+\sqrt{9-\frac5n+\frac4{n^2}}}$$Damit können wir nun den Grenzwert angeben:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\frac{1-0}{\sqrt{9-0}+\sqrt{9-0+0}}=\frac{1}{3+3}=\frac16$$
