sin 1/x in x=0 unstetig?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{array}\right. \)
für \( x=0 \) stetig? Begründung!

Problem/Ansatz:

Das ist unstetig richtig?

Answer 1

Ist unstetig. Nach dem Folgenkriterium gilt mit der Folge a(n) = 1/n:

lim n nach unendlich 1/n = 0 und f(0)=0

, dasselbe sollte auch für lim n nach unendlich von f(a(n)) gelten,

aber sin(n) für n nach unendlich trifft nicht den Grenzwert 0, sondern divergiert zwischen -1 und 1.

Da diese Gleichung nicht gilt:

f(n-> oo a(n)) = n->oo f(a(n))

Ist f unstetig in 0.

Comments

Danke so hatte ich das auch !

Answer 2

Betrachte die Nullfolge \(x_n=\frac{1}{\pi/2+2n\pi}\) und überprüfe, ob

\(\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(0)\) ist (Folgenkriterium der Stetigkeit).

Comments

Hm es kommt 0 raus. dann ist es wohl stetig aber wieso?

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Bei mir kommt \(\sin(1/x_n)=\sin(\pi/2+2n\pi)=1\) heraus.

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ah stimmt ich hab mich verschrieben. Aber wie kommst du auf die Folge?

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Das bietet sich an wegen \(\sin(\pi/2+2n\pi)=1\) und der
Tatsache, dass in der Funktion der Kehrwert des Arguments 1/x
genommen wird.

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ahhhhhhhhhhh danke