Aloha :)
Die Funktion$$f(x;y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{xy^2}{x^2+y^4} &\text{für }(x;y)\ne(0;0)\\[1ex]0 & \text{für }(x;y)=(0;0)\end{array}\right.$$ist im Nullpunkt stetig, wenn gilt:$$\lim\limits_{\vec x\to\vec 0}f(\vec x)=f\left(\lim\limits_{x\to0}\vec x\right)=f(\vec 0)=0$$Wir müssen also zeigen, dass der linke Grenzwert \(\ne0\) ist.
Wir gehen durch folgende Substitution zu Polarkoordinaten über:$$x^2=r^2\cos^2\varphi\quad;\quad y^4=r^2\sin^2\varphi\quad\implies\quad x=r\cos\varphi\quad;\quad y^2=\left|r\sin\varphi\right|$$und ziehen im Grenzwert die Schlinge zu:$$\lim\limits_{\vec x\to\vec 0}\left|\frac{xy^2}{x^2+y^4}\right|=\lim\limits_{r\to0}\left|\frac{r\cos\varphi\cdot r\sin\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}\right|=\lim\limits_{r\to0}\left|\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\right|=\frac12\left|\sin(2\varphi)\right|\ne0$$
Da \(\varphi\in[0;2\pi]\) beliebige Werte annehmen kann, gibt es keinen (eindeutigen) Grenzwert.
Die Funktion ist in \((0|0)\) nicht stetig.