f unstetig im Nullpunkt.

Question

Aufgabe:

Sei f: R^2→R, f(x,y) = (x * y^2) / (x^2 + y^4) für (x,y) ungleich (0,0) und 0 für (x,y) = 0

Ich muss nun zeigen, dass f im Nullpunkt unstetig ist.

Comments

Z.B. gilt \(f\big(\tfrac1{n^2},\tfrac1n\big)=\tfrac12\) für alle \(n\in\mathbb N.\)

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion$$f(x;y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{xy^2}{x^2+y^4} &\text{für }(x;y)\ne(0;0)\\[1ex]0 & \text{für }(x;y)=(0;0)\end{array}\right.$$ist im Nullpunkt stetig, wenn gilt:$$\lim\limits_{\vec x\to\vec 0}f(\vec x)=f\left(\lim\limits_{x\to0}\vec x\right)=f(\vec 0)=0$$Wir müssen also zeigen, dass der linke Grenzwert \(\ne0\) ist.

Wir gehen durch folgende Substitution zu Polarkoordinaten über:$$x^2=r^2\cos^2\varphi\quad;\quad y^4=r^2\sin^2\varphi\quad\implies\quad x=r\cos\varphi\quad;\quad y^2=\left|r\sin\varphi\right|$$und ziehen im Grenzwert die Schlinge zu:$$\lim\limits_{\vec x\to\vec 0}\left|\frac{xy^2}{x^2+y^4}\right|=\lim\limits_{r\to0}\left|\frac{r\cos\varphi\cdot r\sin\varphi}{r^2\cos^2\varphi+r^2\sin^2\varphi}\right|=\lim\limits_{r\to0}\left|\frac{r^2\cos\varphi\sin\varphi}{r^2}\right|=\frac12\left|\sin(2\varphi)\right|\ne0$$

Da \(\varphi\in[0;2\pi]\) beliebige Werte annehmen kann, gibt es keinen (eindeutigen) Grenzwert.

Die Funktion ist in \((0|0)\) nicht stetig.

Comments

Hey erstmal danke für deine Hilfe :), es gibt jedoch ein Problem die Methode mit den Polarkoordinaten hatten wir noch nicht im Skript bzw. in der Vorlesung, deswegen darf ich diese Methode nicht benutzen. Gibt es vielleicht einen anderen Ansatz der dir einfällt?

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Für Steigkeit muss die Bedingung$$\lim\limits_{x\to0}f(\vec x)=f\left(\lim\limits_{x\to0}\vec x\right)=f(\vec 0)=0$$für alle Wege \(\vec x\) gelten, die zum Nullpunkt führen. Es reicht also, wenn du einen einzigen Weg mit Ziel \(\vec 0\) findest, für den der linke Grenzwert \(\ne0\) ist.

Wähle z.B. den folgenden Weg: \(\binom{1/n^2}{1/n}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\vec 0\).

Dafür ist:$$\lim\limits_{x\to0}f(\vec x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2}{\left(\frac{1}{n^2}\right)^2+\left(\frac1n\right)^4}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{2\cdot\frac{1}{n^4}}=\frac12\ne0$$

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Ok perfekt danke dir :D