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Aufgabe:

Zeigen Sie$$\forall y>0\space \forall x\in \mathbb{R}:\quad xy \leq \mathrm{e}^x + y\ln(y) - y$$

Zeigen sie dass die ungleichung stimmt


Problem/Ansatz:

ich habe keine Ahnung hahahahh

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xy kleiner gleich e^(x) + y ln(y) -y.
y fest und größer 0 , x € R

Ich weiß nicht, was das genau bedeuten soll.

Heißt das nicht einfach

        \(\forall y>0\ \forall x\in \mathbb{R}:\ xy \leq \mathrm{e}^x + y\ln(y) - y\)?

Aber dann verwirrt mich, was mit fest gemeint ist.

...und mich verwirrt, wo hier eine "Gleichung" sein soll.

anstatt kleiner, ein kleiner gleich. und fest ist denke ich so gemeint, dass y eben gewählt ist und egal welches x wir benutzen die gleichung stimmt.

ich hab doch selber keinen schimmer. Die aufgabe hat mich in der klausur eben selber völlig aus dem konzept gebracht. wohlgemerkt analysis 1

anstatt kleiner, ein kleiner gleich.

Habe ich in meiner Frage korrigiert.

dass y eben gewählt ist

Ja aber welchen Wert hat \(y\) denn. Oder soll

        \(\forall x\in \mathbb{R}:\ xy \leq \mathrm{e}^x + y\ln(y) - y\)

etwa für alle \(y>0\) gezeigt werden?

y hatte keinen wert. ich denke so wie du es sagst war es gemeint

Vielleicht klappt es, wenn man die Funktion \(f_y(x)=\mathrm e^x-yx+y\ln y-y\) für fest gewähltes \(y>0\) auf (absolute) Minima über \(\R\) untersucht.

Ja das hat funktioniert hahahahah

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