Zeigen Sie, dass die Gleichung stimmt

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie$$\forall y>0\space \forall x\in \mathbb{R}:\quad xy \leq \mathrm{e}^x + y\ln(y) - y$$

Zeigen sie dass die ungleichung stimmt

Problem/Ansatz:

ich habe keine Ahnung hahahahh

Comments

xy kleiner gleich e^(x) + y ln(y) -y.
y fest und größer 0 , x € R

Ich weiß nicht, was das genau bedeuten soll.

Heißt das nicht einfach

        \(\forall y>0\ \forall x\in \mathbb{R}:\ xy \leq \mathrm{e}^x + y\ln(y) - y\)?

Aber dann verwirrt mich, was mit fest gemeint ist.

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...und mich verwirrt, wo hier eine "Gleichung" sein soll.

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anstatt kleiner, ein kleiner gleich. und fest ist denke ich so gemeint, dass y eben gewählt ist und egal welches x wir benutzen die gleichung stimmt.

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ich hab doch selber keinen schimmer. Die aufgabe hat mich in der klausur eben selber völlig aus dem konzept gebracht. wohlgemerkt analysis 1

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anstatt kleiner, ein kleiner gleich.

Habe ich in meiner Frage korrigiert.

dass y eben gewählt ist

Ja aber welchen Wert hat \(y\) denn. Oder soll

        \(\forall x\in \mathbb{R}:\ xy \leq \mathrm{e}^x + y\ln(y) - y\)

etwa für alle \(y>0\) gezeigt werden?

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y hatte keinen wert. ich denke so wie du es sagst war es gemeint

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Vielleicht klappt es, wenn man die Funktion \(f_y(x)=\mathrm e^x-yx+y\ln y-y\) für fest gewähltes \(y>0\) auf (absolute) Minima über \(\R\) untersucht.

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Ja das hat funktioniert hahahahah