Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten?

Question

Aufgabe:

Ein Beutel enthält vier rote und drei blaue Kugeln. Es werden blind zwei Kugeln mit Zurücklegen entnommen. Schreiben Sie folgende Ereignisse als Mengen auf und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten.

a) Es sind zwei rote Kugeln.

b) Eine ist blau, eine rot.

c) Es ist mindestens eine rote dabei.

d) Es ist höchstens eine blaue dabei.

e) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Anzahl roter Kugeln.

f) Untersuchen Sie, ob sich der Erwartungswert für die Anzahl der roten Kugeln ändert, wenn man die erste gezogene Kugel vor dem zweiten Zug nicht wieder zurücklegt.

Problem/Ansatz:

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten?

Answer 1

Aloha :)

$$\text{Beutel}=(\red{\bullet}\red{\bullet}\red{\bullet}\red{\bullet}\blue{\bullet}\blue{\bullet}\blue{\bullet})$$Es werden 2 Kugeln ohne Hinschauen mit Zurücklegen gezogen:

$$(a)\quad p(\red{\bullet}\red{\bullet})=\underbrace{\frac47\cdot\frac47}_{\red{\bullet}\red{\bullet}}=\frac{16}{49}$$$$(b)\quad p(\red{\bullet}\blue{\bullet}|\blue{\bullet}\red{\bullet})=\underbrace{\frac47\cdot\frac37}_{\red{\bullet}\blue{\bullet}}+\underbrace{\frac37\cdot\frac47}_{\blue{\bullet}\red{\bullet}}=\frac{24}{49}$$$$(c)\quad p(\red{\bullet}\blue{\bullet}|\blue{\bullet}\red{\bullet}|\red{\bullet}\red{\bullet})=\underbrace{\frac47\cdot\frac37}_{\red{\bullet}\blue{\bullet}}+\underbrace{\frac37\cdot\frac47}_{\blue{\bullet}\red{\bullet}}+\underbrace{\frac47\cdot\frac47}_{\red{\bullet}\red{\bullet}}=\frac{40}{49}$$$$(d)\quad\text{siehe }(c)$$$$(e)\quad E(\red{\bullet})=\underbrace{0\cdot p(\blue{\bullet}\blue{\bullet})}_{=0}+1\cdot p(\red{\bullet}\blue{\bullet}|\blue{\bullet}\red{\bullet})+2\cdot p(\red{\bullet}\red{\bullet})=1\cdot\frac{24}{49}+2\cdot\frac{16}{49}=\frac87$$

Ohne Zurücklegen ändert sich am Erwartungswert für die Anzahl der Kugeln nichts, denn:$$(f)\quad E(\red{\bullet})=\underbrace{0\cdot p(\blue{\bullet}\blue{\bullet})}_{=0}+1\cdot p(\red{\bullet}\blue{\bullet}|\blue{\bullet}\red{\bullet})+2\cdot p(\red{\bullet}\red{\bullet})$$$$\qquad\qquad\quad\!=0\cdot\text{egal}+1\cdot\left(\frac47\cdot\frac36+\frac37\cdot\frac46\right)+2\cdot\left(\frac47\cdot\frac36\right)=\frac87$$

Answer 2

Wie berechne ich die Wahrscheinlichkeiten?

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der günstigen Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Comments

Die arroganten Antworten sind nur bedingt hilfreich, das ist nicht besonders cool. Egotrips müssen nicht sein. Einfach nicht antworten, wenn du ein ums andere Mal nur halbgar antwortest. Das nervt nicht nur die Frageersteller, sondern auch alle, die die gleiche Frage mal später haben und nachschauen!

Answer 3

a) p(rot) = 4/7, p(blau) = 3/7

(4/7)^2

b) 4/7*3/7*2

c) P(X>=1) = 1-P(X=0) = 1- (3/7)^2

d) P(X<=1) = 1- P(X=2) = 1-(3/7)^2

e) EW= 2*4/7 = 8/7

f) EW= 2*4/7

https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung#Erwartungswert

Comments

Dieser Link hat nichts mit der gestellten Frage zu tun.

Es ist mit Zurücklegen.

---

Doch, der steht der EW der hypergeo. Verteilung (Baumdiagramm).

n= 2, N=7, M= 3

---

Es ist mit Zurücklegen.

---

Es ist mit Zurücklegen.

Nicht nur:

f) Untersuchen Sie, ob sich der Erwartungswert für die Anzahl der roten Kugeln ändert, wenn man die erste gezogene Kugel vor dem zweiten Zug nicht wieder zurücklegt.

---

Achso, das bezog sich auf die letzte Aufgabe, alles klar.

---

Freut mich, dass mir hier kein Lesefehler unterlaufen ist. :)