Berechnen Sie das mehrdimensionale Integral

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=x y+5 y \) sowie der Bereich \( D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2} \leq y \leq 1\right\} \).

(a) Skizzieren Sie \( D \).

(b) Berechnen Sie das Integral \( \int \limits_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \).

Problem/Ansatz:

ich habe die Skizze gemacht, aber wie man die Integralgrenzen definieren kann, mir ist unsicher, vlt kann man hier was dazu sagen kann !

Auf folgende Skizze sollte man drauf eingehen !

Danke im Voraus

Answer 1

Aloha :)

Alle Punkte aus \(D\) erfüllen die Bedingung \(x^2\le y\le1\), also ist \(y\in[x^2;1]\).

Insbesondere muss auch \(x^2\le1\) gelten, also ist \(x\in[-1;1]\).

Damit kannst du das Integral formulieren:$$I=\int\limits_Df(x;y)\,dx\,dy=\int\limits_{x=-1}^1\;\,\int\limits_{y=x^2}^1(xy+5y)\,dx\,dy=\int\limits_{x=-1}^1\;\,\int\limits_{y=x^2}^1(x+5)y\,dx\,dy$$

Da die untere \(y\)-Grenze von \(x\) abhängt, müssen wir zuerst über \(dy\) bei festgehaltenem \(x\) integrieren:$$I=\int\limits_{x=-1}^1\left[(x+5)\cdot\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^1dx=\int\limits_{-1}^1\left(\frac{x+5}{2}-\frac{x^5+5x^4}{2}\right)dx=\frac12\int\limits_{-1}^1\left(x+5-x^5-5x^4\right)dx$$

Das Integral kannst du nun einfach ausrechnen. Allerdings liegt das Integrationsintervall für \(dx\) symmetrisch um den Urpsrung. Daher fallen die Beiträge der punktsymmetrischen Terme, also \(x\) und \((-x^5)\) weg, und die Beiträge der achsensymmetrischen Terme, also \(5\) und \((-5x^4)\) sind auf beiden Seiten der \(y\)-Achse gleich. Daher lässt sich das Integral noch vereinfachen:$$I=\int\limits_0^1(5-5x^4)\,dx=\left[5x-x^5\right]_0^1=5-1=4$$

Answer 2

In ein Doppelintegral

        \(\int\limits_{a}^{b}\int\limits_{T_1}^{T_2} f(x,y)\mathrm{d}v_1\mathrm{d}v_2 = \int\limits_{a}^b\left(\int\limits_{T_1}^{T_2}f(x,y)\mathrm{d}v_1\right)\mathrm{d}v_2\)

aufteilen. Dabei darf in den Termen \(T_1\) und \(T_2\) die Variable \(v_2\) auftreten. Dagegeben müssen \(a\) und \(b\) reelle Zahlen sein. Eine Möglichkeit dazu ist

        \(\int\limits_{-1}^1\left(\int\limits_{x^2}^{1}f(x,y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\).

Eine andere Möglichkeit ist

        \(\int\limits_{0}^1\left(\int\limits_{-\sqrt y}^{\sqrt y}f(x,y)\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y\).