Bestimme alle Schnittpunkte der Kurven.

Question

Aufgabe:

Bestimme alle Schnittpunkte der Kurven.

$$y_1(x) = 2 \cdot sin(x)$$
$$y_2(x) = 1 - \frac{3}{2} \cdot cos^2(x)$$

Problem/Ansatz:

Ich habe die Funktionen gleichgesetzt, habe dann die daraus entstandene quadratisch Gleichung gelöst und einen Schnittpunkt bei $$S(\frac{4}{6}  - \sqrt[2]{ \frac{28}{36} }, -0.427)$$ gefunden.

Dazu habe ich auch eine Zeichnung mit den zwei Kurven erstellt. Die Schnittpunkte, so meine ich, wiederholen sich nicht mit dem Abstand Pi, da der Cosinus "nach unten" verschoben ist. Nun habe ich das Problem, dass ich nicht auf die anderen Schnittpunkte komme.

Kann mir jemand einen Tipp geben? Danke!

Comments

Dein Ansatz ist richtig. cos^2(x) muss ersetzt werden um schnell zur Lösung zu kommen.

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@ggT22

Richtig, das hatte ich gemacht. (vergessen zu erwähnen)

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$2\sin x=1-\frac32\cos^2x=1-\frac32\left(1-\sin^2x\right)=\frac32\sin^2x-\frac12\quad\bigg|\cdot2$$$$4\sin x=3\sin^2x-1\quad\big|-4\sin x$$$$3\sin^2x-4\sin x-1=0\quad\big|\div3$$$$\sin^2x-\frac43\sin x-\frac13=0\quad\bigg|\text{pq-Formel}$$$$\sin x=\frac23\pm\sqrt{\frac49+\frac13}=\frac23\pm\sqrt{\frac79}=\frac{2\pm\sqrt7}{3}\quad\bigg|\arcsin(\cdots)$$

Wegen \((2+\sqrt7>3)\) liefert das "Pluszeichen" keine Lösung, übrig bleibt$$x_1=\arcsin\left(\frac{2-\sqrt7}{3}\right)\approx-0,216948$$Die \(\arcsin\)-Funktion liefert uns die Lösung im Hauptintervall \([-\frac\pi2|\frac\pi2]\).

Wegen \(\left(\sin(\pi-x)=\sin x\right)\) gibt es innerhalb der \(2\pi\)-Periode der Sinus-Funktion eine weitere Lösung:$$x_2=\pi-x_1\approx3,358541$$

Wegen der \(2\pi\)-Periode gibt es unendlich viele Lösungen:$$x=x_1+\mathbb Z\cdot2\pi\;\lor\;x=x_2+\mathbb Z\cdot2\pi$$

~plot~ 2*sin(x) ; 1-3/2*cos(x)^2 ; {-0,217|2sin(-0,217)} ; {3,359|2sin(3,359)} ; [[-6|6|-2,5|2,5]] ~plot~

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Hi! Danke für die ausführliche Antwort. Dabei habe ich auch mindestens einen Fehler entdeckt (Rücksubstitution vergessen).

Damit haben sich meine Fragen geklärt.. Auf zu den nächsten Aufgaben! ^^

Answer 2

Wenn du cos(x)^2 durch 1-sin(x)^2 ersetzt, kommst du auf

3sin(x)^2 - 4 sin(x) + 1 = 0

Durch die Substitution z=sin(x) gibt das bei mir

z=(2 ±√(7) )/ 3

Also sind die Lösungen für x bei

sin(x)= (2 +√(7) )/ 3  oder sin(x)=(2 -√(7) )/ 3  .

Das erste hat ja keine Lösungen aber das zweite

bei etwa -0,217 und dann pi+0,217  etc.

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Danke dir für deine Antwort! Kurz und einleuchtend ^^

Answer 3

1 - 1.5·COS(x)^2 = 2·SIN(x)
1 - 1.5·(1 - SIN(x)^2) = 2·SIN(x)
1.5·SIN(x)^2 - 0.5 = 2·SIN(x)
1.5·SIN(x)^2 - 2·SIN(x) - 0.5 = 0
1.5·z^2 - 2·z - 0.5 = 0 --> z = 2/3 - √7/3 = -0.2153 ∨ z = √7/3 + 2/3 = 1.5486

SIN(x) = 2/3 - √7/3 --> x1 = ARCSIN(2/3 - √7/3) = -0.2169 ∨ x2 = pi - ARCSIN(2/3 - √7/3) = 3.3585

Wenn man weitere Lösungen haben will, kann man ja einfach die Periodenlänge von 2pi addieren oder subtrahieren.

Skizze

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Danke dir auch für deine Antwort! Dann kann ich ja auch leicht die restlichen Schnittpunkte definieren. Cool!

Answer 4

Hallo

 1. Du hast eine zweite Lösung der quadratischen Gleichung für sin(x) , daraus musst du du die beiden x bestimme, die beiden einzeln wiederholen sich dann mit 2pi

dh. du kast x1+k*2pi und x2+k*2pi , k ganz

da du ja eigentlich sin(x) ausgerechnet hast,hatdas x natürlich die Periode von sin.

Gruß lul

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Ah, "natürlich" hätte ich das nicht bedacht.. Stimmt. Danke!

Answer 5

\(y_1(x) = 2 \cdot sin(x)\)   

\(y_2(x) = 1 - \frac{3}{2} \cdot cos^2(x)\)

\( 1 - \frac{3}{2} \cdot cos^2(x)=2 \cdot sin(x)\)

Einschub:  \(cos^2(x)=1-sin^2(x)\)

\( 1 - \frac{3}{2} *(1-sin^2(x))=2 \cdot sin(x)\)

\(  - \frac{3}{2} *(1-sin^2(x))-2 \cdot sin(x)=-1\)

\(   \frac{3}{2} *(1-sin^2(x))+2 \cdot sin(x)=1  |*\frac{2}{3}\)

\( (1-sin^2(x))+\frac{4}{3} \cdot sin(x)=\frac{2}{3} \)

\( sin^2(x)-\frac{4}{3} \cdot sin(x)=\frac{1}{3}\)

\( (sin(x)-\frac{2}{3} )^2=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}  |  \sqrt{~~}\)

1.) \( sin(x)-\frac{2}{3} =\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}\)

 \( sin(x) =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}\)→keine Lösung ∈ ℝ

2.) \( sin(x)-\frac{2}{3} =-\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}\)

\( sin(x) =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot\sqrt{7}≈-0,215\)

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Danke!     :-)