Aufgabe:
In der Rheinschiene Köln-Bonn sind Hochwassersituationen nichts Ungewöhnliches. Ziemlich genau vor 19 Jahren ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze in den Mittelgebirgen den Kölner Rheinpegel auf die bisherigen Rekordhöhen steigen.
Die folgende Funktion stellt den Wasserstand für einen Zeitraum von 12 Stunden modellhaft dar:
\( h(t)=-0,0025 t^{3}+0,04 t^{2}+9,17 \) \( (0 \leq t \leq 12) \)
(t: Zeit seit Beobachtungsbeginn am 27.01.1995 um 00:00 Uhr, h(t): Wasserstand in Metern zur Zeit t).
a) Bestimmen Sie die Wasserstände um 7:00 und um 10:30 Uhr. Berechnen Sie den Wert von h'(11,25) und geben Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an.
b) Beide Punkte A(0|9,17) und B(8|10,45) liegen auf dem Graphen von h(t). Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch diese beiden Punkte und beschreiben Sie den Verlauf des Hochwassers, wenn in den ersten 8 Stunden diese Funktion zugrunde gelegt würde.
c) Bestimmen Sie den Höchststand des Pegels am Vormittag des 27.01.1995.
d) Bestimmen Sie den Wendepunkt von f(t) und ermitteln Sie, ob zu diesem Zeitpunkt das Hochwasser anstieg oder zurück ging.
