Was wird hier genau verlangt?

Question

Gegeben sei ein Datenvektor x=(x_i)^n suche jene Zahl b, für welche

∑(ix_i-b) ^2

minimal wird. Wie lässt sich b geometrisch interpretieren. Was wird hier genau verlangt?

Comments

Du sollst die angegebene Summe als Funktion in b auffassen und ihr Minimum bestimmen.

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Versuche doch bitte mal, die Aufgabenstellung vernünftig formatiert zu präsentieren. Hier im Eingabefenster gibt es die notwendigen Werkzeuge, oder du könntest die Aufgabenstellung als Bild eingeben.

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Steht das i tatsächlich vor dem \(x_i\)? Oder ist das ein verrutschter Summationsindex?

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Versuche doch bitte mal, die Aufgabenstellung vernünftig formatiert zu präsentieren.

das hat Battel101 meiner Meinung nach auch gemacht.

... oder du könntest die Aufgabenstellung als Bild eingeben.

woraufhin die Frage gesperrt/markiert wird, wg. "Texte sollen eingegeben werden"

Answer 1

Hallo

leite nacheinander nach x1 bis xn ab, das muss jeweils 0 sein.

Gruß  lul

Answer 2

Hallo,

Geometrisch interpretiert ist \(b\) der Schwerpunkt aller \(x_i\) bzw. das arithmetische Mittel der \(x_i\).

Das gilt zumindest, wenn der Term \(\sum (x_{i}-b)^2 \to \min\) lautet. Das \(i\) vor dem \(x_i\) hatte ich übersehen!

Answer 3

Hier eine geometrische Interpretation im \(\mathbb R^n\) mit dem herkömmlichen Skalarprodukt (also der Euklidischen Norm).

Sei \(e = (1,\ldots , 1)\in \mathbb R^n\) und weiter sei \(y \in \mathbb R^n\). Zum Beispiel kann \(y_i = ix_i\) sein (also völlig Schnuppe, welche Koordinaten man hat).

Dann ist

\(\sum_{i=1}^n(y_i - b)^2 = ||y - be ||_2^2\)

Wir suchen also im von \(e\) aufgespannten Unterraum den Punkt, der am nächsten an \(y\) liegt.

Das ist aber genau die orthogonale Projektion von \(y\) auf diesen Unterraum.

Die orthogonalen Projektionen von \(y\) auf den von \(e\) aufgespannten Unterraum kann man einfach mit dem Skalarprodukt berechnen:

\(\left(y\cdot\frac e{||e||_2}\right)\frac e{||e||_2} = \frac{y\cdot e}{||e||_2^2}e = be\)

Also

\(b= \frac{y\cdot e}{||e||_2^2} = \frac{\sum_{i=1}^ny_i}{n}= \frac 1n\sum_{i=1}^ny_i\)