würde es Dir helfen, das als Widerspruchsbeweis aufzubauen:
$$ \lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n $$
$$ \Rightarrow \exists n \in \mathbb {N} \quad \text{derart dass} \quad a_n > b_n $$
Das ist ein Widerspruch zu den Voraussetzungen und es muss das Gegenteil gelten. Damit wäre die Annahme bewiesen. Mit Zwischenschritten müsste das formal schon ok sein.
Gruß