Grenzwert konvergenter Folgen beweisen

Question

Brauche Ansätze oder Lösungswege!

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würde es Dir helfen, das als Widerspruchsbeweis aufzubauen:

$$\lim_{n \to \infty} a_n > \lim_{n \to \infty} b_n$$

$$\Rightarrow \exists n \in \mathbb {N} \quad \text{derart dass} \quad a_n > b_n$$

Das ist ein Widerspruch zu den Voraussetzungen und es muss das Gegenteil gelten. Damit wäre die Annahme bewiesen. Mit Zwischenschritten müsste das formal schon ok sein.

Gruß

Answer 1

Hi,
angenommen es gilt $a=\lim_{n\to\infty}a_n$ und $b=\lim_{n\to\infty} b_n$ und $a > b$, dann gibt es ein $\epsilon \in \mathbb{R} > 0$ mit $a - \epsilon > b + \epsilon$. Für $n \in \mathbb{N}$ gross genug, gilt aber
$a_n > a - \epsilon > b + \epsilon > b_n$ im Widerspruch dazu, dass gilt $a_n \le b_n$

Für den zweiten Teil der Aufgabe nehme die Folgen $a_n = \frac{1}{n+1}$ und $b_n = \frac{1}{n}$ Dann gilt $a_n < b_n$ aber die Grenzwerte beider Folgen ist $0$