Dies ist der zweite Teil meiner Kurzzusammenfassung für die Themen aus der linearen Algebra. Diese Zusammenfassung habe ich im Rahmen einer Prüfungsvorbereitungsstunde für meine Tutanden entstanden. Das (überarbeitete) Skript dazu gibt es in absehbarer Zeit als PDF auf meiner Webseite.
Teil 1: https://www.mathelounge.de/529060/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-1
Teil 3: https://www.mathelounge.de/529170/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-3
Teil 4: https://www.mathelounge.de/529178/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-4
2.3 Wie prüft man, ob eine Menge von Vektoren eine Basis ist?
Die Basis eines Vektorraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, mit denen alle Vektoren des Vektorraums mittels Linearkombination erzeugt werden können. Man sagt: „Eine Basis erzeugt einen Vektorraum.“
Problemstellung: Es sind \(k\) Vektoren gegeben und man soll prüfen, ob diese Vektoren die Basis des \(\mathbb{R}^n\) bilden. Wir können dabei wie folgt vorgehen:
- Wenn \(k>n\) können die Vektoren keine Basis bilden, da \(k-n\) Vektoren durch die \(n\) Vektoren erzeugt werden können (lineare Abhängigkeit)!
- Wenn \(k<n\) können die Vektoren keine Basis bilden, da nicht jeder Vektor dargestellt werden kann.
- Wenn \(k=n\) muss geprüft werden, ob die Vektoren linear abhängig sind. Eine einfache Argumentation ist über die Determinante möglich:
1.) Schreiben Sie alle Vektoren nebeneinander in eine Matrix \(A\) (Reihenfolge egal).
2.) Berechnen Sie die Determinante.
3.1) \(\det(A)=0\Longrightarrow\) Die Vektoren sind linear abhängig und bilden keine Basis.
3.2) \(\det(A)\neq 0\Longrightarrow\) Die Vektoren sind linear unabhängig und bilden eine Basis.
Gegeben seien die Vektoren \(\left(\begin{matrix}1\\-1\\2\end{matrix}\right)\), \(\left(\begin{matrix}2\\3\\-1\end{matrix}\right)\) und \(\left(\begin{matrix}4\\-1\\0\end{matrix}\right)\). Es ist also \(k=n=3\). Um zu prüfen, ob diese Vektoren eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) bilden, schreiben wir sie in eine Matrix und berechnen anschließend die Determinante:
$$A = \left(\begin{matrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 & -1\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right)$$ Wir berechnen die Determinante exemplarisch mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz (siehe Abschnitt 4.3). Zwecks Aufwandsersparnis entwickeln wir nach der \(3.\) Zeile, da sich dort eine \(0\) befindet. Es ist: $$\det(A)=\left|\begin{matrix}1 & 2 & 4\\-1 & 3 & -1\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right|= \underbrace{+1}_{\text{aus Vorzeichenmatrix}}\cdot 2\cdot \left|\begin{matrix}2 & 4\\3 & -1\end{matrix}\right| + \underbrace{-1}_{\text{aus Vorzeichenmatrix}}\cdot (-1)\cdot \left|\begin{matrix}1 & 4\\-1 & -1\end{matrix}\right|$$ $$=1\cdot 2\cdot (2\cdot (-1)-3\cdot 4)+(-1)\cdot (-1)\cdot (1\cdot (-1)-(-1)\cdot 4)=-25\neq 0$$ Da \(-25\neq 0\) (und die Vektoren somit linear unabhängig sind), handelt es sich bei den gegebenen Vektoren um eine Basis des \(\mathbb{R}^3\).
3. Die \(4\) Fundamentalräume
Für den Vektorraum der Matrizen gibt es \(4\) Untervektorräume, die man als die „\(4\) Fundamentalräume“ bezeichnet. Diese sind der
- Spaltenraum \(C(A)\)
- Zeilenraum \(C(A^T)\)
- rechte Nullraum \(N(A)\)
- linke Nullraum \(N(A^T)\)
Eine wichtige Erkenntnis ist, dass
- der rechte Nullraum \(N(A)\) und der Zeilenraum \(C(A^T)\)
- der linke Nullraum \(N(A^T)\) und der Spaltenraum \(C(A)\)
senkrecht zueinander sind. Erzeugt man also z. B. mit der Basis des linken Nullraums und der Basis des Spaltenraums beliebige Vektoren, ergibt ihr Skalarprodukt \(0\)! So kann man in der Prüfung exemplarisch nachweisen, dass man richtig gerechnet hat (ein Beweis ist das jedoch nicht!).
Sei \(A\in\mathbb{K}^{m\times n}\) eine \(m\times n-\)Matrix mit \(\mathrm{rank}(A)=r\). Dann sind die Dimensionen der \(4\) Fundamentalräume gegeben durch:
\(\begin{array}{|c|c|}\hline\mathrm{Fundamentalraum} & \mathrm{Dimension}\\\hline C(A) & r\\\hline N(A) & n-r\\\hline C(A^T) & r\\\hline N(A^T) & m-r\\\hline\end{array}\)
Wir werden nun die Algorithmen zur Ermittlung einer Basis für den jeweiligen Fundamentalraum betrachten:
- Bestimmen einer Basis für den Spaltenraum \(C(A)\)
1.) Führen Sie eine \(LU-\)Zerlegung von \(A\) durch.
2.) Identifizieren Sie die Pivot-Spalten.
3.) Fassen Sie die \(r\) Pivot-Spalten in einer Menge zusammen.
- Bestimmen einer Basis für den rechten Nullraum \(N(A)\Longrightarrow\) die „speziellen Lösungen“
1.) Bestimmen Sie die Treppennormalform von \(A\).
2.) Ergänzen Sie so viele Nullzeilen, bis \(A\) quadratisch ist.
3.) Tauschen Sie die Zeilen so lange, bis auf der Hauptdiagonale die maximale Anzahl an Einsen steht.
4.) Ergänzen Sie bei jeder \(0\) auf der Hauptdiagonalen eine \(-1\) (freie Variablen).
5.) Fassen Sie die Spalten, in denen eine \(-1\) ergänzt wurde, in einer Menge zusammen.
- Bestimmen einer Basis für den Zeilenraum \(C(A^T)\)
1.) Bestimmen Sie die Treppennormalform von \(A\).
2.) Fassen Sie die ersten \(r\) Pivot-Zeilen der Treppennormalform in einer Menge zusammen.
- Bestimmen einer Basis für den linken Nullraum \(N(A^T)\)
1.) Führen Sie eine \(LDU-\)Zerlegung von \(A\) durch.
2.) Berechnen Sie \(D^TL^T\).
3.) Bestimmen Sie von \(D^TL^T\) die Basis des rechten Nullraums \(N(D^TL^T)\)
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