Dies ist der dritte Teil meiner Kurzzusammenfassung für die Themen aus der linearen Algebra. Diese Zusammenfassung habe ich im Rahmen einer Prüfungsvorbereitungsstunde für meine Tutanden entstanden. Das (überarbeitete) Skript dazu gibt es in absehbarer Zeit als PDF auf meiner Webseite.
Teil 1: https://www.mathelounge.de/529060/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-1
Teil 2: https://www.mathelounge.de/529158/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-2
Teil 4: https://www.mathelounge.de/529178/artikel-003-kurzzusammenfassung-lineare-algebra-i-teil-4
Als Beispiel für die in Teil 2 vorgestellten Algorithmen bestimmen wir eine Basis für den Spaltenraum \(C(A)\), Zeilenraum \(C(A^T)\) und (rechten) Nullraum \(N(A)\) der Matrix $$\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\1 & 4 & 6\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right)$$
Bestimmen einer Basis für den Spaltenraum \(C(A)\)
1.) Führen Sie eine \(LU-\)Zerlegung von \(A\) durch:
\(\begin{array}{ccl}\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\l_{2,1} & 1 & 0\\l_{3,1} & l_{3,2} & 1\end{matrix}\right)}_{L} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\1 & 4 & 6\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right)}_{A} & \mid\text{ } II+ (-I), III\mathrm{ bleibt}\\\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & l_{3,2} & 1\end{matrix}\right)}_{L} &\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\0 & 1 & 2\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right)}_{A'} & \mid \text{ } III+ (-II)\\\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)}_{L} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1& 3 & 4\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)}_{A''=U}\end{array}\)
2.) Der Rang der Matrix ist \(\mathrm{rank}(A)=2\). Die erste und zweite Spalte sind die Pivot-Spalten.
3.) Wir lesen in \(A\) die erste und zweite Spalte ab und schreiben diese in eine Menge, die dann die Basis des Spaltenraums bildet: $$\mathcal{B}(C(A))=\left\{\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}3 \\ 4 \\1\end{matrix}\right)\right\}$$
Bestimmen einer Basis für den (rechten) Nullraum \(N(A)\)
Wir haben bereits beim Bestimmen einer Basis für den Spaltenraum \(C(A)\) festgestellt, dass die Matrix den Rang \(2\) besitzt. Deshalb enthält der (rechte) Nullraum \(N(A)\) genau \(\underbrace{3}_{n}-\underbrace{2}_{\mathrm{rank}(A)}=1\) Vektor.
1.) Wir wandeln \(U\) in die Treppennormalform um. Hierzu muss nur noch der Eintrag \(u_{1,2}=3\) zu \(0\) werden. Hierzu multiplizieren wir \(II\) mit \(-3\) und addieren das Ergebnis zu \(I\):
\(\begin{array}{ccl}\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)}_{L} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 4\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)}_{U} & \mid \text{ }I+ (-3\cdot II)\\\underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 3 & 0\\1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right)}_{L'} & \underbrace{\left(\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)}_{U'=R}\end{array}\)
Wir ergänzen nun eine \(-1\) an den Stellen auf der Hauptdiagonalen, an denen sich aktuell eine \(0\) befindet. Alle Spalten, in denen die \(-1\) ergänzt wurde, werden in einer Menge zusammengefasst und bilden eine Basis des (rechten) Nullraums.
$$\mathcal{B}(N(A))=\left\{\left(\begin{matrix}-2 \\ 2 \\ -1\end{matrix}\right)\right\} = \left\{\left(\begin{matrix}2 \\ -2 \\ 1\end{matrix}\right)\right\}$$
Bestimmen einer Basis für den Zeilenraum \(C(A^T)\)
1.) Die Treppennormalform (\(R\)) wurde bereits beim Bestimmen einer Basis des (rechten) Nullraums ermittelt:
$$R=\left(\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right)$$
2.) Wir lesen die Pivot-Zeilen (\(I\) und \(II\)) ab und schreiben diese in eine Menge, die dann die Basis des Zeilenraums bildet: $$\mathcal{B}(C(A^T))=\left\{\left(\begin{matrix}1 \\ 0 \\ -2\end{matrix}\right), \left(\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 2\end{matrix}\right)\right\}$$
4. Determinanten
4.1 Definition: Determinante, reguläre/singuläre Matrix
Eine Determinante \(\det(A)\) ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\) zugeordnet ist. Sei $$A=\left(\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n,1} & a_{n,2} & ...& a_{n,n}\end{matrix}\right)$$
Dann schreiben wir für die Determinante von \(A\):
$$\det(A)=|A|=\left|\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n}\\a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n,1} & a_{n,2} & ...& a_{n,n}\end{matrix}\right|$$ Wichtig: Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen \(A\in\mathbb{K}^{n\times n}\) definiert!
Eine Matrix \(A\) heißt
- singulär, wenn \(\det(A)=0\) und
- regulär, wenn \(\det(A)\neq 0\)
4.2 Eigenschaften
\(\begin{array}{|l|l|}\hline\text{Operation zum Erzeugen von } A' \text{ aus } A & \text{Effekt}\\\hline \text{Vertauschen zweier Spalten in } A & \det(A')=-\det(A)\\\hline \text{Vertauschen zweier Zeilen in } A & \det(A')=-\det(A)\\\hline \text{Multiplikation von } k \text{ Spalten in } A\ \text{ mit } \lambda & \det(A')=\lambda^k\cdot \det(A)\\\hline \text{Multiplikation von } k \text{ Zeilen in } A \text{ mit } \lambda & \det(A')=\lambda^k\cdot \det(A)\\\hline \text{Addition des } \lambda-\text{Fachen einer Spalte in } A \text{ zu einer anderen } & \det(A')=\det(A)\\\hline \text{Addition des } \lambda-\text{Fachen einer Zeile in } A \text{ zu einer anderen } & \det(A')=\det(A)\\\hline\end{array}\)
\(\begin{array}{|l|c|}\hline\text{Satz} & \text{Bedeutung}\\\hline \text{Transpositionssatz} & \det(A^T)=\det(A)\\\hline \text{Multiplikationssatz} & \det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)\\\hline \text{Inversensatz} & \det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}\\\hline\end{array}\)
- \(\det(A^k)=\left(\det(A)\right)^k\)
- \(\det(AB)=\det(BA)\)
- \(\forall C\in\mathbb{K}^{n\times n}\) mit \(\det(C)\neq 0\) (d.h. \(C\) ist invertierbar): \(\det(C^{-1}AC)=\det(A)\)
- Für Diagonal- und (obere, untere) Dreiecksmatrizen ist die Determinante gegeben durch: $$\det(A)=\prod\limits_{k=1}^{n}{a_{k,k}}$$ - Die \(n\times n-\)Einheitsmatrix hat die Determinante \(1\) (neutrales Element bezüglich der Multiplikation).
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