Die von dir beschriebene Vorgehensweise ist grundsätzlich richtig, wenn es gelingt, eine Stammfunktion zu finden, was in diesem Fall einfach ist. Aber da die Funktion \(y=|\ln x|\) auf dem Intervall \((0,1]\) stetig ist, musst du nur den Grenzwert an der unteren Grenze untersuchen:
$$\lim_{a\to 0^+}\int_a^1|\ln x|\,dx$$
Wir haben
\(0<x\leq 1 \Rightarrow |\ln x| = -\ln x \). Damit erhältst du
\(\int_a^1 |\ln x| \, dx = -\int_a^1 1\cdot \ln x \, dx = \left[-(x\ln x -\int x\cdot \frac 1x \, dx )\right]_a^1 \)
\(= \left[x-x\ln x\right] _a^1 = (1-1\cdot \ln 1) - (a-a\ln a) \)
\(= \boxed{1-a+a\ln a}\)
Um jetzt den Grenzwert \(a\to 0^+\) zu bestimmen, benötigst du (z. Bsp. per L'Hospital)
\(\lim_{a\to 0^+} a\ln a = \lim_{a\to 0^+} \frac{\ln a}{\frac 1a} \stackrel{L'Hosp.}{=}\lim_{a\to 0^+} \frac{\frac 1a}{-\frac 1{a^2}} \)
\(= \lim_{a\to 0^+} (-a) = 0\)
Also insgesamt
\(\int_0^1 |\ln x| \, dx = \lim_{a\to 0^+} (1-a+a\ln a) = 1-0+0 = 1\)
