Da \(\lim_{x\to 0^+} x^x = 1\), kann der Integrand stetig nach \(x=0\) fortgesetzt werden.
Wir brauchen also nur noch die Konvergenz von \(\int_{\color{blue}x_0}^\infty x^xe^{-x^2}dx\) für ein geeignetes \(\color{blue}{x_0}> 0\) untersuchen.
Nun ist
\(x^x = e^{x\ln x} \Rightarrow x^xe^{-x^2} = e^{-x^2\left(1-\frac{\ln x}{x}\right)}\)
Weiterhin gilt
\(\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \)
Also gibt es ein \(x_0 > 0\), so dass für \(x\geq x_0\) gilt
\(\frac{\ln x}{x} < \frac 12 \Rightarrow 1-\frac{\ln x}{x} > \frac 12\)
Wir können also den Integranden abschätzen:
\(x\geq x_0 \Rightarrow \int_{x_0}^\infty x^xe^{-x^2}dx = \int_{x_0}^\infty e^{-x^2\left(1-\frac{\ln x}{x}\right) }dx< \int_{x_0}^\infty e^{-\frac{x^2}2}dx <\infty\)
